Introduz. ad una teoria geometrica ec. 377 
Se le tre curve date passano per uno stesso punto a, le rette polari di 
questo passano per esso medesimo ; dunque , se le curve C, C',C" hanno pun- 
ti comuni a tutte e tre, questi sono anche punti della loro Jacobiana. 
Se una delle curve date, per esempio C " , ha un punto doppio d, la 
retta polare di questo punto rispetto a C" è indeterminata (72), onde può 
risguardarsi come tale la retta che unisce d all’ intersezione delle rette po- 
lari di questo punto relative alle altre due curve C, C . Dunque la Jacobiana 
passa pei punti doppi delle curve date. 
94. Suppongasi m" = m' } cioè due delle curve date siano dello stesso 
ordine. In tal caso la Jacobiana non si cambia, se a quelle due curve se ne 
sostituiscono due altre qualunque del fascio da esse determinato. Il che è 
evidente , perchè la Jacobiana è il luogo di un punto pel quale passino le tre 
prime polari d’ uno stesso polo ; e d’ altronde le prime polari d' uno stesso 
polo rispetto a tutte le curve d' un fascio formano un nuovo fascio (84, a), 
cioè passano per gli stessi punti. 
Nel caso attuale, la Jacobiana ammette una seconda definizione. Se p è 
un punto di essa, le rette polari di p rispetto alle tre curve date concorrono 
in uno stesso punto p' . Ma pi è il punto pel quale passano le rette polari di 
p rispetto a tutte le curve del fascio [CC") (84, c); cioè la retta polare 
di p rispetto a C sarà anche retta polare dello stesso punto relativamente ad 
una curva del fascio anzidetto. Onde può dirsi che la Jacobiana delle curve 
date è il luogo di un punto avente la stessa retta polare rispetto a C e ad 
alcuna delle curve del fascio ( C'C" ) ; il qual luogo abbiamo già investigato 
altrove (87). 
95. Supponiamo m — m' — m", cioè le curve date siano tutte e tre dello 
stesso ordine m. Siccome a due qualunque di esse se ne ponno sostituire ( 94 ) 
due altre del fascio da quelle due determinato, così alle tre date se ne po- 
tranno sostituire tre qualunque della rete ( 92 ) individuata dalle curve date 
( purché non appartengano ad uno stesso fascio ) , senza che la Jacobiana sia 
punto alterata. Onde, data una rete di curve d’ordine m, il luo- 
go di un polo, le cui rette polari rispetto alle curve dei- 
dine 3 ( m — 1 ) , passante pei punti doppi delle curve me- 
desime (93). Perciò, nel caso di cui si tratta, la Jacobiana coincide col- 
1’ Hessiana della rete ( 92 ). Abbiamo così un’ altra definizione dell’ Hessiana 
di una data rete geometrica. 
Vogliamo ora esaminare più davvicino il caso nel quale le curve della 
rete si seghino tutte in uno stesso punto dato, ed anche quello in cui le cur- 
ve medesime si tocchino nel punto comune. Nel primo caso possiamo supporre 
che una delle tre curve individuanti la rete sia quella per la quale il punto 
dato è un punto doppio; e nel secondo caso potremo assumere quella curva 
che nel punto dato ha una cuspide ed ivi tocca la tangente comune a tutte 
le curve della rete (92, a, b). 
96. Siano date adunque tre curve C, C 9 C" dello stesso ordine m, 
aventi un punto comune, il quale sia doppio per una di esse, C"; in quel 
punto si collochi il polo o, del quale abbiamo fatto uso (93) nella ricerca 
generale della Jacobiana. 
(a) Le prime polari del punto o rispetto alle curve 
e C, C’ passano per 
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