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o, onde per questo punto passerà anche la curva JT, qualunque sia la retta 
L a cui corrisponde (93). 
La curva K corrispondente ad una data retta L rimane la stessa , se 
alle curve C , C sostituiscousi due curve qualunque del fascio determinalo da 
quelle. Sostituendo a C la curva C° tangente in o alla retta t, le prime po- 
lari di tutt’ i punti di L relative a C° passeranno per o (70). Per o passa 
anche la prima polare di o relativa a C ; quindi la tangente in o alla cur- 
va K' sarà la retta che ivi tocca la prima polare di o rispetto a C° (51, a), 
ossia la retta L. Dunque: quando le curve C,C’ sono dello stesso ordine e 
passano per o, anche la curva K’ passa per o ed ivi tocca quella retta L a 
cui essa corrisponde. 
(b) Essendo o un punto doppio per la curva C ", le prime polari, rela- 
tive ad essa , di tutt’ i punti della retta L passano per o ed ivi toccano una 
medesima retta L' , la coniugata armonica di £ rispetto alle due tangenti di 
C" nel punto doppio (74, c ). 
La curva K'' ( 93 ) è generata da due fasci projettivi , V uno delle prime 
polari de’ punti di £ rispetto a C", P altro delle prime polari de’ medesimi 
punti rispetto a C. Le curve del primo fascio hanno in o una stessa tangen- 
te 11. E alla curva del secondo fascio che passa per o, cioè alla prima po- 
lare di o rispetto a C, corrisponde la prima polare di o relativa a C " , ossia 
quella curva del primo fascio per la quale o è un punto doppio. Per conse- 
guenza, qualunque sia la retta £, la curva K" generata dai due fasci ha 
in o un punto doppio (51,b). Inoltre, quando £ sia una delle tangenti di 
C" nel punto doppio (51, d), ovvero quando l sia tangente in o alla curva 
C, nel qual caso anche le curve del secondo fascio passano per o (52, a), 
in entrambi questi casi, dico, la retta £ è una delle tangenti a K" nel pun- 
to doppio o. 
Dunque: se C e C'' hanno un punto comune o che sia doppio per C" , 
la curva K" relativa ad una data retta £ (passante per o) ha un punto dop- 
pio in o ; ed £ è una delle due relative tangenti , ogniqualvolta essa sia tan- 
gente in o ad una delle due curve date. 
( c ) Così abbiamo veduto che , nel caso preso in considerazione , il punto 
o appartiene a tutte le curve K r relative alle rette L condotte per esso (a) 
ed è doppio per tutte le curve K" corrispondenti alle rette medesime (b). 
Dunque ( 52 ) o sarà un punto triplo per la complessiva curva d’ ordine 
4 (m — 1 ) generata dai due fasci projettivi delle K' e delle K' (93). Ma 
di questa curva complessiva fa parte la prima polare di o relativa a C, la 
quale prima polare passa una volta per o; dunque questo punto è doppio per 
la curva rimanente d’ordine 3(m — 1), cioè per la Jacobiana. 
Le rette L sono tangenti (a) alle relative curve K' ; dunque (52) le 
tangenti alla curva risultante d’ordine 4(m — 1) nel punto triplo o saranno 
quelle rette £ che toccano anche le relative curve K". Ma L tocca la cor- 
rispondente K" (b) quando è tangente a C o a C \ epperò le tre tangenti 
nel punto triplo sono la tangente a C e le due tangenti di C " . Di queste tre 
rette, la prima è tangente (71) alla prima polare di o relativa a C; dunque 
le altre due sono le tangenti della Jacobiana nel punto doppio o. 
Così possiamo concludere che : 
(d) Datau n a rete di curve passanti per uno stesso 
