Introduz. ad una teoria geometrica ec. 379 
punto o, la curva Hessiana della rete passa due volte per 
o ed ivi ha le due tangenti comuni con quella curva del- 
la rete, per la quale o è un punto doppio. 
97. Passiamo ad esaminare il caso in cui il punto o, comune alle tre 
curve C, C', C " , sia una cuspide per 1’ ultima di esse , e la taugente cuspi- 
dale T tocchi in o anche C e C'. 
(a) Le curve C , C avendo in o la stessa tangente, all’ una di esse può 
sostituirsi quella curva del fascio ( CC ) che ha un punto doppio in o (47); 
onde questo punto sarà doppio per K qualunque sia L ( 96 , b ). Ed inoltre , 
quando L coincida con J, questa retta sarà una delle tangenti nel punto dop- 
pio per la corrispondente curva K ' . 
(b) Essendo o una cuspide per C", le prime polari , relative a questa curva, 
di tutt’ i punti di L passano per o ed ivi toccano T ( 74,c); e fra esse ve 
n’ha una, la prima polare di o, perla quale questo punto è una cuspide e T 
è la relativa tangente cuspidale. Inoltre, la prima polare di o rispetto a C passa 
anch’ essa per o ed ivi tocca la medesima retta T. Dunque (51, e), qualun- 
que sia L, la curva K'' ha una cuspide in o, e la tangente cuspidale è T. 
Ma se L coincide con T , le prime polari de’ punti di L relative a C" 
hanno un punto doppio in o (78, a), mentre le prime polari de' medesimi 
punti rispetto a C passano semplicemente per o (70); ond’ è che quella cur- 
vai?", che corrisponde ad L coincidente con T, ha impunto triplo in o (52). 
(c) Così è reso manifesto che le curve K hanno in o un punto doppio, 
mentre le curve K" hanno ivi una cuspide, e T è la comune tangente cuspi- 
dale. Ne consegue ( 52 ) che o è un punto quadruplo per la complessiva cur- 
va d’ordine 4(m — 1) generata dai due fasci proiettivi delle K ', K", e che 
due de’ quattro rami passanti per o sono ivi toccati dalla retta T. Gli altri 
due rami sono toccati in o dalle tangenti della curva K' corrispondente a quel- 
la curva K" che ha in o un punto triplo (52, a). La curva K", per la qua- 
le o è un punto triplo, corrisponde ad L coincidente con T (b), epperò 
corrisponde appunto a quella curva K' che ha un ramo toccato in o dalla 
retta T (a). Dunque tre delle quattro tangenti nel punto quadruplo o della 
curva complessiva d’ordine 4(rn — 1) sono sovrapposte in T. 
La curva d’ordine 4(m— l)è composta della Jacobiana delle tre curve 
date e della prima polare di o rispetto a C. Questa prima polare passa una 
volta per o ed ivi ha per tangente T; dunque la Jacobiana passa tre volte 
per o e due de’ suoi rami sono ivi toccati dalla retta T. Ossia : 
(d) Data una rete di curve aventi un punto comune o 
ed ivi la stessa tangente T, la curva^ Hessiana della re- 
genti a 1 1 a re t ta P T. ? 
98. Supposte date di nuovo tre curve C, C', C" , i cui ordini siano ri- 
spettivamente m, m', m ", cerchiamo di quale ordine sia il luogo di un punto 
nel quale concorrano le rette polari di uno stesso polo rispetto alle tre curve 
date. Sia L una retta arbitraria , » un punto qualunque di essa ; se per i 
devono passare le rette polari relative a C, C , il polo o sarà una del- 
le ( m — 1 ) ( m' — 1 ) intersezioni delle prime polari di « rispetto a quelle 
due curve. Se per o dee passare anche la prima polare relativa a C ”, il po- 
lo di essa sarà nella retta polare di o rispetto a questa curva; e le rette 
