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polari degli ( m — 1 ) ( m’ — 1 ) punti o incontreranno L in altrettanti 
punti *'. 
Assunto invece ad arbitrio un punto i in L , se per esso dee passare la 
retta polare relativa a C", il polo è nella prima polare di i' rispetto alla det- 
ta curva ; la quale prima polare è una curva K dell’ ordine ni" — 1 . Le ret- 
te polari dei punti di K relative a C inviluppano una curva della classe 
( m — 1 ) ( m" — 1 ) (81 ) , ed analogamente le rette polari dei punti di K ri- 
spetto a C inviluppano un’altra curva della classe ( m! — 1 ) ( m ,r — 1 ). In 
queste due curve-inviluppi, a ciascuna tangente dell’ una corrisponde una tan- 
gente dell’altra, purché si assumano come corrispondenti quelle tangenti che 
sono polari di uno stesso punto di K rispetto a C e C'. Dunque (83, a) 
le intersezioni delle tangenti omologhe formeranno una curva dell’ ordine 
( m — 1 ) ( m ’ " — 1 ) ■+■ ( m — 1 ) ( m" — 1 ) , la quale segherà la retta L in 
altrettanti punti ». 
Così a ciascun punto i corrispondono ( m — 1 ) ( m' — 1 ) punti i', men- 
tre ad ogni punto i corrispondono ( m — 1 ) ( m" — !)-+■( m — 1 ) ( m" — 1 ) 
punti i. Onde la coincidenza di due punti omologhi i, i' in L avverrà 
( m 1 ) ( m' ■— 1 ) -+■ [ni — 1 ) ( m'' — • 1 ) •+• ( m" — 1 ) ( m — 1 ) volte; cioè 
questo numero esprime 1’ ordine del luogo richiesto. Questa curva passa evi- 
dentemente pei punti comuni alle tre curve date, ov’ esse ne abbiano. 
( a ) Quando le tre curve date siano dello stesso ordine m , ad esse poti- 
no sostituirsi altre tre curve della rete da quelle individuata, senza che venga 
a mutarsi il luogo dianzi considerato. Questo , che in tal caso è dell’ ordine 
3(m — l) 2 , può chiamarsi la Steineriana della rete (88, d ). 
( b ) Data una rete di curve d’ ordine m , ogni punto p della curva Hes- 
siana è il polo d’ infinite rette polari relative alle curve della rete , le quali 
rette concorrono in uno stesso punto o ( 95 ) della Steineriana. In questo mo- 
do , a ciascun punto dell' Hessiana corrisponde un punto della Steineriana e 
reciprocamente ; quindi la retta che unisce due punti corrispondenti inviluppa 
una terza curva della classe 3 ( m— 1 ) ■+- 3 ( m — 1 ) 2 = 3m ( m— 1 ) (83, b). 
Ogni retta passante per o è adunque polare del punto p rispetto ad una 
curva delle rete. Del resto, se la retta polare passa pel polo, questo giace 
nella curva fondamentale, che è ivi toccata dalla retta polare medesima. Ne 
segue che la retta op tocca in p una curva della rete; ma tutte le curve del- 
la rete che passano per p si toccano ivi fra loro ( 92 ) , dunque la comune 
tangente di queste curve è op. 
99. Data una curva qualsivoglia C n ( fondamentale ) , indichiamo con 
n 1’ ordine della medesima , 
m la classe , 
S il numero de’ punti doppi , 
x il numero de' punti stazionari o cuspidi , 
r il numero delle tangenti doppie, 
* il numero delle tangenti stazionarie , ossia de' flessi. 
