Introduz. ad una teoria geometrica ec. 381 
Siccome m è il numero delle tangenti che da un punto arbitrario si 
possono condurre alla curva data, così, in virtù del teorema (74, c) o 
( 87 , d ), si ha : 
1) w» = n (n — 1 ) — 2£ — 3x, 
forinola che somministra la classe di una curva , quando se ne conosca P or- 
dine e si sappia di quanti punti doppi e cuspidi è fornita. 
Pel principio di dualità , un’ equazione della stessa forma dovrà dare 
P ordine di una curva , quando se ne conosca la classe , il numero delle tan- 
genti doppie e quello delle stazionarie ( 82 ) ; dunque : 
2) n = m ( m — 1 ) «— • 2* — 3t. 
100. Siccome ogni punto della curva fondamentale, il quale abbia per 
conica polare il sistema di due rette, è un flesso o un punto multiplo (80), 
così la curva Hessiana , la quale è il luogo de 7 punti le cui coniche polari si 
risolvono in coppie, di rette (90, a), sega la linea data nei flessi e ne* punti 
multipli di questa. Onde , essendo P Hessiana dell’ ordine 3 ( n — 2 ) , se la 
curva data non ha punti multipli, il numero de’ suoi flessi è 3n(n — 2) (*). 
Supponiamo ora che C n abbia un punto doppio d -, nel qual caso tutte le 
prime polari passano per d. Allora P Hessiana della rete formata da queste 
prime polari , che è anche P Hessiana di C n ( 90 , a ; 92 ) , passa due volte per 
d ed ivi ha le due tangenti comuni colla prima polare del punto stesso 
(96, d), cioè ha le tangenti comuni colla curva data (72). Dunque il punto 
d equivale (32) a set intersezioni delP Hessiana con C n ; ossia ogni punto doppio 
fa perdere a questa curva sei flessi. 
Ora s’ imagini che C n abbia una cuspide d , e sia T la tangente cuspi- 
dale. In questo caso tutte le prime polari relative a C n passano per d ed ivi 
sono toccate dalla retta T (74, c); epperò P Hessiana ha tre rami passanti 
per d , due de’ quali hanno per tangente T ( 97, d ). Dunque il punto d equi- 
vale ad otto intersezioni dell’ Hessiana con C n > ossia ogni cuspide fa perdere 
a questa curva otto flessi (**). 
Quindi , se C n ha d punti doppi e x cuspidi , il numero de’ flessi ossia 
delle tangenti stazionarie sarà dato dalla formola: 
3) i — 3n(n — 2 ) — — 8x. 
E pel principio di dualità, se una curva della classe m ha t tangenti doppie 
ed t tangenti stazionarie, essa avrà 
4) x — 3m {m — 2) — 6r — 8i 
punti stazionari. 
Le quattro equazioni così trovate equivalgono però a tre sole indipenden- 
(*) Pluckeu , System der analyUschen Geometrie, Berlin 1835, p. 264. — Messe, L'eber die 
Wendepuncte der Cttrven dritter Ordnung ( Giornale di Crellk , t. 28, Berlino 1844 , p. 104). 
(**) CAYLETf , Recherehes sur l’élimination et sur la théorie des eourbes (Giornale di Creile , 
