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Luigi Cremona 
ti; infatti, sottraendo la 1) moltiplicata per 3 dalla 3), si ha la 
6) x — t = 3 (n — m) , 
equazione che può essere dedotta nello stesso modo anche dalle 2 ) , 4 ). 
Così fra i sei numeri n , m, d , x , x , i si hanuo tre equazioni indipen- 
denti , onde , dati tre , si possono determinare gli altri tre. Per esempio , dati 
n, d, x , il valore di z si ottiene eliminando m ed i fra le 1) , 2) , 3) ; e 
si ha : 
6) x = n(n — 2)(n 2 — 9) — (2£-+- 3x) (n 2 — n — 6) 
Una formola assai utile si ottiene sottraendo la 2) dalla 1) , ed eliminando 
x — i dal risultato mediante la 5) : 
7) 2(d — T) = (n m ) (n -+- m — 9). 
Queste importanti relazioni fra 1’ ordine , la classe e le singolarità di una 
curva piana sono stale scoperte dal sig. Plììckeb (*). 
101. Se una curva deve avere un punto doppio, senza che questo sia dato, 
ciò equivale ad una condizione ; infatti, a tal uopo basta che tre prime polari 
(non appartenenti ad uno stesso fascio) abbiano un punto comune. Invece, se 
la curva deve avere un punto stazionario, senza che questo sia dato, ossia 
se tre prime polari (non appartenenti ad uno stesso fascio) debbono toccarsi 
in uno stesso punto, ciò esige due condizioni. Onde segue che, se una curva 
d'ordine n deve avere d punti doppi e x cuspidi, essa sarà determinata (34) 
da — ~ n ^ ^ ^ — d — 2x condizioni. E , in virtù del principio di dualità , 
— - — — x — 2t condizioni determineranno una curva della classe m la 
quale debba essere fornita di x tangenti doppie e di t tangenti stazionarie. 
Perciò, se i numeri n, ro, d, x, x , l competono ad una sola e mede- 
sima curva, dovrà essere: 
formola che può dedursi anche dalle 1), 2) . . . . Ma , ove sia stabilita a 
priori j come qui si è fatto, essa insieme con due qualunque delle 1), 2), . . . 
potrà servire a somministrare tutte le altre (**). 
102. Noi prenderemo quind’ innanzi a studiare le proprietà di una curva 
C n di un dato ordine n, la quale supporremo affatto generale fra quelle dello 
