Introduz. ad una teoria geometrica ec. 383 
la curva .fondamentale sarà della classe n ( n — 1 ) ed avrà nessun punto mul- 
tiplo, 3n(n — 2) flessi e -n(n-2)(n 2 -9) tangenti doppie. 
Le prime polari relative a C n formano una rete dell’ordine n— 1 , l’ Hes- 
siana della quale taglia C n ne’3n(n — 2) flessi di questa. La Steineriana della 
rete ( 98 , a ) , che è anche la Steineriana di C n ( 88 , d ) , è dell’ ordine 3 ( n — 2 ) 2 . 
Art. XVII. Curve generate dalli* polari, quando il polo 
si muova con legge data. 
103. Se un punto, considerato come polo rispetto alla curva fondamen- 
tale C n , percorre un’ altra curva data C m d’ ordine m , la retta polare inviluppa 
una curva A', la quale abbiamo già trovato (81) essere della classe m(n— 1 ). 
Le tangenti che da un punto qualunque o si possono condurre a K sono le 
rette polari degli m( n— 1) punti, ne’ quali C m è intersecata dalla prima po- 
lare di o. 
( a ) Se o è tal punto che la sua prima polare sia tangente a C m , due 
rette polari passanti per o sono coincidenti, cioè o è un punto della curva K 
( 30 ) ; questa è dunque il luogo geometrico de’ poli le cui prime polari toccano 
C m • Questa proprietà ci mette in grado di trovare I’ ordine di K , cioè il nu- 
mero de’ punti in cui K è incontrata da una retta arbitraria L. Le prime po- 
lari de’ punti di L formano un fascio (77); onde, supposto che C m abbia 8 
punti doppi , e * cuspidi , vi saranno m ( m -h 2n — 6 ) — ( 28 -+- 3x ) punti in L , 
le cui prime polari sono tangenti a C m (87, c). Dunque K è dell’ordine 
w ( m /+• 2n — 5 ) — (2J + 3*). 
E poi evidente che le tangenti stazionarie di K sono le rette polari de’ 
punti stazionari di C m ; donde segue che K ha x flessi. 
Conoscendo così la classe, l’ordine ed il numero de’ flessi della curva 
K , mediante le formolo di Plììcker (99, 100) troveremo che essa ha inoltre: 
Ir 1 ^ 27 
— f m -i- 2n — 5 ) — ( 2£ -t- 3* ) J — m (5m-t-6n — 21 )-t- 10£-t- — x punti 
doppi, 3m(m + n— 4) — (63-t-8x) cuspidi e (n — 2 ) (wm- 3 ) -+*£ tan- 
genti doppie. 
( b ) É manifesto che ogni punto doppio di £ è il polo di una prima po- 
lare tangente a C m in due punti distinti; che ogni cuspide di K è il polo di 
una prima polare avente con C m un contatto tripunto; e che ogni tangente 
doppia di K è una retta avente o due poli distinti sulla curva C m ,o due poli 
riuniti in un punto doppio di questa curva. 
Siccome le proprietà del sistema delle prime polari ( relative a C„ ) valgono 
per una rete qualsivoglia di curve, così da quanto precede si raccoglie: 
le quali abbiano doppio contatto con una data linea d’or- 
dine m, fornita di 8 punti doppi e x cuspidi, è 
~^tn(m-+-2n — 6) — (23-4-3* ) | 9 — m ( 6m 4- 6n — 2 1 )-*-103 -h~*. 
