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Luigi Cremona 
2.° Il numero delle curve della stessa rete aventi col- 
1 5 anzi detta linea d ’ ordine m un contatto tripunto è 
3m(m + n-4)-(63-i-8*) (*). 
(c) Ogni punto della curva K è polo di una prima polare tangente a 
Cmi onde considerando le intersezioni delle curve E e C m , si ha: 
In una curva C m dell’ordine m, dotata di d punti doppi e di x cuspidi, 
vi sono m 2 (m -+■ 2n — 5) — m(2$-H3*) punti, le cui prime polari relative 
alla curva fondamentale C n toccano la medesima C m . 
Di qui per m = 1 si ricava : 
In una retta qualunque vi sono 2 ( « •— 2 ) punti, le cui 
prime polari relative alla curva fondamentale C n toccano 
la retta medesima. 
Se la retta è tangente a C n , nel contatto coincidono due di quei 2(n — 2) 
poli. Dunque in una retta tangente a C n esistono 2(n — 3) punti, ciascun 
de’ quali è polo di una prima polare tangente in altro punto alla retta me- 
desima. 
( d ) Se nella ricerca superiore , la curva C m si confonde con C n , la 
linea K si compone evidentemente della C n medesima e delle sue tangenti sta- 
zionarie, perchè ogni punto di quella e di queste è polo di una prima polare 
tangente alla curva fondamentale (71,80). In tal caso, i punti doppi di K 
sono le intersezioni delle tangenti stazionarie fra loro e colla curva C n ; le 
cuspidi di K sono rappresentate dai flessi di £„, ciascuno contato due volte; 
e le tangenti doppie di K sono le stazionarie e le doppie di C M . 
I punti doppi di K sono (b) i poli d’altrettante prime polari doppia- 
mente tangenti alla curva fondamentale. Ed invero: se o è un punto comune 
a due tangenti stazionarie di questa, la prima polare di o tocca C n ne’ due 
flessi corrispondenti (80); e se o è un punto di segamento di C n con una 
sua tangente stazionaria, la prima polare di o tocca C n in o (71) e nel 
punto di contatto di questa tangente (80). Sonvi adunque 3n(n — 2)(n — 3) 
prime polari doppiamente tangenti a C n ,i cui poli giacciono in C n medesima; 
e vi sono altre — n ( n — 2 ) ^ 3n (n — 2) — 1 ) prime polari pur doppiamente 
tangenti , i cui poli sono fuori di C n . 
(e) La curva R, inviluppo delle polari (n— \) me de’ punti di C m , si 
chiamerà 1’ ( n — 1 )”*“ polare di C m . 
Facendo m = 1 , troviamo che 1’ (n— 1 ) ma polare di una retta R, cioè 
l’inviluppo delle rette polari de" punti di R, od anche il luogo de’ poli delle 
prime polari tangenti ad R, è una curva della classe n — 1 e dell’ordine 
2(n — 2), con 3(n — 3) cuspidi , 2 ( n — 3 ) ( » — 4 ) punti doppi ed 
( n — 2 ) (n — 3 ) . _ . . 4 
tangenti doppie; cioè: 
3 (« — 3 ) pr 
) e r le quali una t 
2(»-3)(n-4) pr 
te doppia; ed ino 
p. 174-176. 
