Introduz. ad Una teoria geometrica e c. 385 
■ — (n — 2)(n — 3) rette, ciascuna delle quali ha due poli in R. 
(f) Se P (n— ì) ma polare della retta R passa per un dato punto o, 
questo è il polo di una prima polare tangente ad R (e) ; talché se 1’ (n — 1 ) ma 
polare varia girando intorno al punto fisso o, la retta R invilupperà la prima 
polare di o. Così abbiamo due definizioni della prima polare di un punto: 
La prima polare di un punto o è il luogo de’ poli le 
cui (n — \) me polari s’incrociano in o , ed è anche l’invi- 
luppo delle rette le cui ( n — 1 ) we polari passano per o. 
104. Supposto che un polo p percorra una data curva C m d'ordine m, 
avente d punti doppi e x cuspidi, di qual indice è la serie (34) generata 
dalla polare ( r) ma di p rispetto alla linea fondamentale C n , e quale ne sarà 
P inviluppo ? 
( a ) Se la polare ( r ) ma di p passa per un punto o , il polo sarà nella 
polare (n — r) ma di o (69, a), cioè sarà una delle rm intersezioni di que- 
sta polare colla proposta curva C m . Dunque per o passano rm polari (r)” 16 
di punti situati in C m , cioè le polari (r) nie de’ punti di C m formano una se- 
rie d’ indice rm. 
(b) Se 1’ (n — r) ma polare di o tocca in un punto C m > avremo iti o 
due (r) nie polari coincidenti, ossia o sarà un punto della linea inviluppata 
dalle curve della serie anzidetta. Dunque : 
L’inviluppo delle polari (r)™ de’ punti di una curva 
C m è anche il luogo de’ poli delle polari ( n — r)™ 6 tangen- 
ti a C m . 
(c) Quale è l’ordine di questo luogo? Ovvero, quanti punti vi sono in 
una retta arbitraria le polari (n — r) me de’ quali tocchino C m ? Le polari 
(n — r)” 16 de’ punti di una retta L formano (a) una serie d’ordine r e d’in- 
dice n — r ; epperò ( 87 , c ) ve ne sono (n — r ) j m ( m 2r — 3) — ( 2$ -+- 3x ) j 
che toccano C m . Donde segue che : 
L’ inviluppo delle polari ( r ) me de’ punti di una curva 
d’ordine m, dotata di d punti doppi e x cuspidi, è una 
linea dell’ordine (n — r) jm (m-t-2r— 3 ) — (2£-+-3x) 
Questa linea si denominerà polare (r) mo della data curva Cm rispetto 
alla curva fondamentale C n (*). 
( d ) Fatto r = 1 ed indicata con m' la classe di C m » cioè posto 
m' = m(m- l)-(2S-t-3x) (99), si ha: 
La prima polare di una curva della classe m', cioè il 
luogo de’ poli delle rette tangenti di questa, è una linea 
dell’ordine m' (n — 1 ). 
Questa linea passa pei punti ove la curva fondamentale è toccata dalle 
tangenti comuni ad essa ed alla curva della classe m. 
Se m' = 1 , ricadiamo nella definizione della prima polare di un pun- 
to (103 , f). 
( e ) Posto m = 1 , troviamo che la polare ( r ) ma di una retta è 
(*) Steiner , l. c. p. 2-3. 
T. XII. 
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