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Luigi Cremona 
una linea dell* ordine 2(r — l)(n — r). Quindi la prima polare di 
una retta è dell’ordine zero ; infatti essa è costituita dagli (n — l) 2 poli 
della retta data (77). 
Per r = n — 1 , si ricade in un risultato già ottenuto (103, e). 
(f) L’ordine della linea polare (r) n, “ di una retta R si può determinare 
direttamente come segue. A tal uopo consideriamo quella linea come luogo 
de’ punti comuni a due curve successive della serie d’ indice r e d’ ordine 
n — r , formata dalle polari (r) nie de’ punti di R (34). 
Se a è un punto qualunque di R, le polari ( r) me passanti per a hanno 
i loro rispettivi poli nella polare (n — r) ma di a, la quale sega R in r pun- 
ti a'. Se invece assumiamo ad arbitrio un punto a', la sua polare ( r) ma sega 
R in n — r punti a ; talché , riferiti i punti a, a' ad una stessa origine o , 
fra i segmeuli oa , od avrà luogo un* equazione del grado r in od e del 
grado n — r in oa. Il punto a apparterrebbe alla linea cercata , se due delle r 
polari (r) we passanti per esso fossero coincidenti. Ma la condizione perchè 
P equazione anzidetta dia due valori eguali per od è del grado 2 (r — t ) rispet- 
to ai coefficienti della medesima, e per conseguenza del grado 2(r— l)(n— r) 
rispetto ad oa. Sono adunque 2(r — l)(n — r) i punti comuni al luogo ri- 
chiesto ed alla retta R ; ossia l’inviluppo delle polari (r) we de’ punti di una 
retta data è una linea dell’ordine 2(r — l)(n — r). 
Le stesse considerazioni si possono applicare, in molti casi, alla ricerca 
dell’ ordine della linea che inviluppa le curve d’ lina data serie. Per esempio , 
se la serie è d’ indice r e d’ ordine $ , e se si può assegnare una punteggiata 
proiettiva alla serie ( cioè se fra le curve della serie e i punti di una retta 
si può stabilire tale corrispondenza che ad ogni punto della retta corrisponda 
una curva della serie, e viceversa), l’inviluppo sarà dell’ordine 2 (r — 1 ) s. 
Di qui per s = 1 si ricava : 
Se una curva della classe r è tale che si possa asse- 
gnare una punteggiata proiettiva alla serie delle sue tan- 
genti, l’ordine della curva è solamente 2(r-l). 
( g ) Se la polare (n — r ) ma di una retta passa per un dato punto o , 
questo è (b) il polo di una polare ( r) ma tangente a quella retta. Dunque: 
La polare (r) ma di un punto o, ossia il luogo de’ pun- 
ti le cui (n — r) me polari passano per o,è anche 1’ invii up- 
H Punto o. 
Così le polari de’ punti e delle linee sono definite in doppio modo, e 
come luoghi e come inviluppi. Egli è appunto in questa doppia definizione 
che sembra risiedere il segreto della grande fecondità della teoria delle cur- 
ve polari. 
( h ) La polare ( r ) ma di una curva C tocchi un’ altra curva C' nel punto 
o. In o quella polare toccherà la polare (r) ma di un punto o di C\ e vice- 
versa (b) in o la curva C sarà toccata dalla polare (n — r) ma di o. Ma la 
polare ( r) ma di o tocca in o anche C' ; dunque la polare (n — r) ma di o 
toccherà in o' la polare (n— «r)” 1 ® di C' ; ossia: 
Se la polare (r) mffl di una curva C tocca un’ altra cur- 
va C', reciprocamente la polare (n — r ) ma di C' tocca C. 
(k) Una retta R sia 1’ (r— t) ma polare di un punto o rispetto 
