Introduz. ad 
TEORIA GEOMETRICA 
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all’ (n — r) ma polare di un altro punto o, ovvero, ciò che è la medesima 
cosa (69, c), la polare ( n — r) ma di d rispetto alla polare ( r — 1 ) ma di o. 
Se R varia ed inviluppa una curva qualunque C , restando fisso il punto o\ 
il luogo dei punto o sarà (d) la prima polare di C rispetto all’ ( n — r) ma 
polare di d. Se invece resta fisso il punto o, mentre R inviluppa la curva C, 
il luogo di d sarà la prima polare di C rispetto all’ (r — 1 ) ma polare di o\ 
Dunque : 
Se la prima polare di una curva C rispetto all’ (r— 1 ) ma 
polare di un punto o passa per un altro punto d , la pri- 
ma polare di C rispetto all’ ( n — r) ma polare di d passerà 
per o; e viceversa. 
105. L’(n — 1 ) mo polare di una curva C m d’ordine m è (81) una 
linea K della classe m ( n — 1 ). Reciprocamente , la prima polare di K sa- 
rà ( 104, d) una linea dell’ ordine m(n — 1 ) 2 . Questa linea comprende in sè 
la data curva C ìn , perchè K è non solo V inviluppo delle rette polari dei punti 
di C m ; ma anche il luogo de’ poli delle prime polari tangenti a C m (103, a). 
Dunque, allorché un punto o percorre la curva C m , gli altri (n — I) 2 — 1 
poli della retta polare di o descriveranno una linea del V ordine m(n— 1 )- — m 
A questo risultato si arriva anche cercando la soluzione del problema: 
quando un punto o percorre una data linea, quale è il luogo degli altri poli 
della retta polare di o? 
Supposto dapprima che la data linea sia una retta R , cerchiamo in quanti 
i il luogo richiesto. Siccome ( 1 03 , e ) vi sono — ( n — 2 ) ( w — ■ 3 ) 
rette, ciascuna delle quali ha due poli in R, così gli (n — 2)(n — 3) poli 
di tali rette sono altrettanti punti del luogo. Inoltre ricordiamo (90, b) che 
in ogni punto dell’ Hessiana coincidono due poli d' una medesima retta , talché 
le 3(n — 2) intersezioni dell' Hessiana con R sono comuni al luogo di cui 
si tratta. Questo luogo ha dunque (n — 2)(n — 3)-+-3(n — 2) punti co- 
muni con R, vale a dire, esso è dell’ordine n(n — 2). 
Se invece è data una linea C m dell’ ordine m , assunta un’ arbitraria retta 
R, cerchiamo quante volte avvenga che una stessa retta abbia un polo in R 
ed un altro in C m . I poli congiunti ai punti di R sono, come or si è dimo- 
strato , in una linea dell’ ordine n ( n — 2 ) , la quale sega C m in mn ( n — 2 ) 
punti. Dunque vi sono mn(n — 2) punti in C m , ciascun de* quali ha un polo 
congiunto in R ; ossia: 
Se un polo descrive una curva d> ordine m, il luogo 
degli altri poli congiunti è una linea dell’ordine mn(n — 2). 
106. Imaginiarao un polo che si muova percorrendo una data curva C m 
d'ordine m; quale sarà il luogo delle intersezioni della prima colla seconda 
polare del polo mobile , rispetto alla curva fondamentale C n ? Assunta una retta 
arbitraria R , se per un punto i di essa passa una prima polare, il polo giace 
nella retta polare di i ; questa retta sega C m in m punti , le seconde polari dei 
quali incontreranno R in m[n — 2) punti i'. Se invece si assume ad arbitrio 
in R un punto i' pel quale debba passare una seconda polare , il polo sarà 
nella conica polare di t' , che taglia C tn in 2m punti ; le prime polari di questi 
