Luigi Cremona 
determinano in 72 2m(n — 1 ) punti i. Così vediamo che ad ogni punto i cor- 
rispondono m (n~2 ) punti t , mentre ad ogni punto i' corrispondono 2m ( n— 1 ) 
punti talché (83) vi saranno (in /ì) m (n — 2 ) 2m ( n— \ ) = m (3n— 4) 
punti i , ciascun de’ quali coincida con uno de* corrispondenti i' ; cioè il luo- 
go richiesto è una curva U dell* ordine m(3n — 4). Evidente- 
mente questa curva tocca C n negli mrt punti comuni a C m e C n , perchè in 
ciascuno di questi punti le polari prima e seconda si toccano fra loro e toc- 
cano Cn (71). 
Inoltre , siccome per un flesso della curva fondamentale passa la prima e la 
seconda polare di ogni punto della relativa tangente stazionaria (80), così la curva 
U passerà pel flesso di C n tante volte quanti sono i punti comuni a C tn ed 
alla tangente stazionaria. Dunque la curva U passa m volte per ciascuno dei 
3n ( n — 2 ) flessi di C n (*)• 
(a) Se C m coincide con C n , la linea U contiene manifestamente due volte 
la curva fondamentale; prescindendo da questa, rimarrà una curva dell’ ordine 
3n(n— *2), per la quale i flessi di C n sono punti (n — 2) pW . Dunque, se 
un polo percorre la curva fondamentale , gli ( n — 1 ) ( n — 2) — 2 punti in 
cui si segano le polari prima e seconda generano una linea dell’ordine 3 n(n — 2 ), 
avente n — 2 branche passanti per ciascun flesso di C n , una delle quali ha 
ivi con C n un contatto tripunto. Il che riesce evidente, considerando che ogni 
tangente stazionaria della curva fondamentale ha con questa n — 2 punti co- 
muni , cioè il flesso ed n — 3 intersezioni semplici. 
( b ) Analogamente si dimostra che , se il polo percorre la curva C m , le 
intersezioni delle polari (r) ma ed (s) ,na descrivono una linea dell’ ordine 
mn{r h- s) — 2mrs, la quale tocca la curva fondamentale ne’ punti comuni a 
questa ed a C m . È da notarsi che il numero firn (r -+■ s) — 2mrs non cambia 
sostituendo n — r, n — s ad r, s. 
Art. XVIII. Applicazione alle curve di second' ordine. 
107. Se ne’ teoremi generali suesposti si fa n = 2, si ottengono i più 
interessanti risultati per la teoria delle coniche. 
Dato un polo o nel piano della curva fondamentale di second’ ordine , 
il luogo del punto coniugato armonico di o, rispetto alle due intersezioni della 
curva con una trasversale mobile intorno ad o, è la retta polare di o (68). 
Se la polare di o passa per un altro punto o', viceversa ( 69 , a ) la polare di 
o' contiene o ; ossia tutte le rette passanti per un punto dato hanno i loro poli 
nella retta polare di questo punto , e reciprocamente tutt 5 i punti di una data 
retta sono poli di rette incrociantisi nel polo delia data. 
Siccome ogni punto ha una determinata retta polare , e viceversa ogni retta 
ha un polo unico, così i punti di una retta costituiscono una 
punteggiata proiettiva alla stella formata dalle loro ri- 
(*) Clebsch, Ueber eine Classe von Eliminationsproblemen und iiber einige Punkte der 
Theorie der Polaren (Giornale CREH, E -BoaciuaDT , t. 58. Berlino 1861, p. 279). 
