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Luigi Cremona 
inviluppa una seconda curva della classe m, dotata di fi tangenti doppie e x 
flessi, la quale è anche il luogo dei poli delle rette tangenti a C m (103). 
Le due curve diconsi polari reciproche. 
(a) Se la conica fondamentale C a è 
il sistema di due rette concorrenti in un 
punto i , la polare d’ ogni punto o passa 
per i, ed invero essa è la coniugata armo- 
nica di o* rispetto al pajo di rette costi- 
tuenti la conica (73, b);ma la polare del 
punto » è indeterminata (72), cioè qua- 
lunque retta nel piano può essere consi- 
derata come polare di ». Donde segue che 
ogni retta passante per i ha infiniti poli 
tutti situati in un’ altra retta passante per 
i , mentre una retta non passante per i 
ha per unico polo questo punto. 
Perciò se è data una curva delia clas- 
se r, considerata come inviluppo di rette, 
la sua polare reciproca , ossia il luogo dei 
poli delle sue tangenti, sarà il sistema di 
r rette passanti per * e ordinatamente con- 
iugate armoniche ( rispetto alle due rette 
2 ) di 
possono < 
(a') Se la conica fondamentale C a , 
risguardata come inviluppo di seconda clas- 
se, è una coppia di punti oo ' , il polo di 
ogni retta R giace nella retta oo', e que- 
sta è divisa armonicamente dal polo e dalla 
polare. Però il polo delia retta oo' è inde- 
terminato, cioè qualunque punto del piano 
può essere assunto come polo di quella 
oo' ha infinite polari tutte incrociantisi in 
un altro punto della medesima retta -, men- 
tre un punto qualunque esterno alla oo' 
non ha altra polare che questa retta. 
Dunque, se è data una curva dell’ or- 
dine r, la sua polare reciproca , cioì 
viluppo delle polari de’ suoi punti 
sistema di r punti situati iu linea 
con oo' , i quali sono , rispetto a 
due, i coniugati armonici di quelli 
curva data incontra la retta oo'. 
è in u 
questi 
ove la 
(b) Nell’ipotesi (a) è evidente che ogni trilatero coniugato avrà un ver- 
tice in «*, e due lati formeranno un sistema armonico colle due rette costituenti 
la conica fondamentale. Viceversa, se un trilatero dato è coniugato ad una co- 
nica che sia un pajo di rette, queste dovranno tagliarsi in un vertice e for- 
mare un fascio armonico con due lati del trilatero medesimo ; e in particolare , 
un lato di questo, considerato come il sistema di due rette coincidenti, terrà 
luogo di una conica coniugata al trilatero. Per conseguenza , le tre rette costi- 
tuenti il trilatero contengono i punti doppi delle coniche ad esso coniugate, os- 
sia ( 92 ; 108 , e) 1 ’ Hessiana della rete formata dalle coniche 
coniugate ad un trilatero dato è il trilatero medesimo. 
111. In virtù del teorema generale (110), la polare reciproca di una 
conica K rispetto ad un’ altra conica C. 2 è una terza conica K' ; le due curve 
K , K' avendo tra loro tal relazione che le tangenti di ciascuna sono le polari 
dei punti dell’ altra rispetto a C r Ne’ quattro punti comuni a I, la conica 
fondamentale C 2 è toccata dalle quattro tangenti comuni a K ; dunque ( 108 , d) 
le tre coniche C. 2 , K , K' sono coniugate ad uno stesso triangolo. 
(a) Se R è la polare di un punto r rispetto a K, e se r' , R' sono il 
polo e la polare di R, r rispetto a C%, è evidente che r' sarà il polo di R' 
(b) I punti comuni a K , K' sono i poli, rispetto a C 3 , delle tangenti 
comuni alle medesime coniche. Donde segue che, se più coniche sono circo- 
scritte ad uno stesso quadrangolo, le loro polari reciproche saranno inscritte 
in uno stesso quadrilatero. E siccome le prime coniche sono incontrate da una 
trasversale arbitraria in coppie di punti formanti un’ involuzione , così le tan- 
genti condotte da un punto qualunque alle coniche inscritte in un quadrilatero 
sono pur accoppiate involutoriamente. 
