Introduz. ad una teoria geometrica ec. 399 
e siccome, qualunque sia », la retta pi passa per p, punto comune alla detta 
polare reciproca ed alla retta polare di p, così questo punto apparterrà al 
luogo richiesto. Ond’ è che questo luogo contiene gli rn(n— 1) punti di con- 
tatto della curva fondamentale colle tangenti comuni a K r . 
Se invece p appartiene a C n e pi è tangente a questa curva in p 3 la 
stessa retta pi è la polare di p; ma essa incontra in r punti la polare reci- 
proca di K r dunque p è un punto multiplo secondo r per la curva richie- 
sta. Questa ha pertanto n ( n — 1) punti (r) pli , e son quelli ove C n è toccata 
da tangenti che concorrono in t. 
Sia p un punto dell’ Hessiana , o il corrispondente punto della Steineria- 
na. Se po è tangente alla data curva K r , essa sarà coniugata alla retta pi 
rispetto alla conica polare di p; infatti, sì quella tangente che le polari dei 
punti p , t , relative a questa conica , concorrono nel punto o. Donde s’ infe- 
risce che p è un punto del luogo che si considera; vale a dire, questo luogo 
passa pei 3r(n— l)(n — 2) punti dell’ Hessiana , le indicatrici de’ quali 
toccano K r . 
Siano ancora p, o punti corrispondenti dell’ Hessiana e della Steineriana ; 
ma po passi per ». Allora , siccome la conica polare di p è un pajo di rette in- 
crociate in o, così la polare reciproca di K r rispetto a tale conica sarà ( 110, a) 
un fascio di r rette concorrenti in o. Ond’ è che il punto o rappresenta r in- 
tersezioni sì della retta pi che della retta polare di p colla polare reciproca 
di K r , e per conseguenza p tien luogo di r punti consecutivi comuni alla 
curva richiesta ed all’ Hessiana. Dunque il luogo geometrico, del quale si 
tratta, ha un contatto (r)*"*"* 0 coll’ Hessiana in ciascuno dei 3(n — 1 )(n — 2) 
punti le cui indicatrici passano per 
Passiamo da ultimo a determinare 1’ ordine della curva in questione. Sia 
R una retta arbitraria condotta per i, e p un punto in R. La retta polare 
di p incontri R in a, e la polare reciproca di K r ( rispetto alla conica pola- 
re di p ) seghi R in r punti b. Se si assume ad arbitrio a, vi corrispondono 
n — 1 posizioni di p (le intersezioni di R colla prima polare di a ) e quin- 
di r ( n — 1 ) posizioni di b. Se invece si assume ad arbitrio b , come incon- 
tro di R colla polare reciproca di K r rispetto alla conica polare di un polo 
indeterminato , questo polo giace ( 1 04 , k ) nella prima polare di K r relativa 
alla prima polare di 6; la qual curva essendo (104, d) dell’ordine r(n — 2) 
sega R in altrettanti punti p,eda ciascuno di questi corrisponde un punto a. 
Così ad ogni punto a corrispondono r(n — 1) punti b, ed ogni punto b in- 
dividua r(n — 2) punti a; onde la coincidenza di un punto a con uno dei 
corrispondenti punti b avverrà r(n— *1) -t-r(n — 2) volte. Ma ove tale coin- 
cidenza si verifichi, il punto p appartiene alla curva cercata. Questa ha dun- 
que r(2n — 3) punti in R , oltre al punto i che è multiplo secondo r; vale 
a dire, essa è dell’ ordine 2r (n — ■ 1 ). 
(a) Analogamente si dimostra che : 
Date due curve K r , K ti le cui classi siano r, s, il luogo di un punto 
p tale che due tangenti condotte per esso , l’ una a K r , V altra a K t , siano 
coniugate rispetto alla conica polare dello stesso punto p, è una linea del- 
1' ordine 2rs(n — 1 ) , la quale l.° passa $ volle per ciascuno degli rn(n — 1) 
punti in cui la curva fondamentale C n è toccata da rette tangenti di À r r ; 
2.° passa r volte per ciascuno degli sn ( n — t ) punti in cui C n è toccata da 
