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Introduz. ad una teoria geometrica ec. 401 
un sol punto, nel quale 1’ Hessiana sarà toccata dalla prima polare di i ; ep- 
però quest’ultimo sarà un punto dell’(« — 1 ) wo polare dell’ Hessiana , ri- 
guardata come il luogo dei poli delle prime polari tangenti all’ Hessiana me- 
desima. Ma i punti i, ne’ quali può dirsi che coincidano due successive tan- 
genti della Steineriana, sono, oltre ai punti di questa curva, quelli situati in 
una qualunque delle tangenti stazionarie della curva medesima. Per conseguenza 
la linea K, (n — 1 ) ma polare dell’ Hessiana , è composta della Steineriana e 
delle tangenti stazionarie di questa. Ossia, la Steineriana ha 
3(n •— 2 )(5ft — 11 ) — 3 (n — 2) 2 = 3 (w — 2) (4n — 9) tangenti sta- 
Della Steineriana conosciamo così I’ ordine 3 ( n — 2 ) 2 , la classe 
3(n— l)(n — 2) ed il numero 3(n — 2 )( 4n — 9 ) de’ flessi. Onde , appli- 
candovi le formole di Plììcker (99,100), troveremo che la Steineriana ha 
12(» — 2) (n — 3 ) cuspidi, (»_2 ) (n - 3 )(3» 2 - 9« - 6 ) punti 
doppi e Y l ' n ~ — 3 ) ( 3n 2 — 3n — 8) tangenti doppie. 
Se al numero delle cuspidi s’aggiunge due volte quello de’ flessi, se al 
numero delle tangenti doppie si aggiunge quello delle stazionarie, e se il nu- 
mero de* punti doppi è sommato col numero de’ punti in cui le tangenti sta- 
zionarie segano la Steineriana e si segano fra loro; si ottengono rispettivamen- 
te i numeri delle cuspidi, delle tangenti doppie e de’ punti doppi della com- 
plessiva curva K d’ordine 3(n — 2) (5n — 11 ) , (»— \) ma polare del- 
I’ Hessiana, in accordo coi risultati generali (103). 
119. Sia od una retta tangente alla Steineriana; o il punto di contatto; 
p il corrispondente punto dell’ Hessiana. Le prime polari dei punti di od for- 
mano un fascio di curve , che si toccano fra loro in p , avendo per tangente co- 
mune po. Fra le curve di questo fascio ve n’ha una, la prima polare di o, 
per la quale p è un punto doppio , e ve ne sono altre 3 ( n — 2 ) 2 — 2 , cioè 
le prime polari de’ punti in cui od sega la Steineriana, le quali hanno un 
punto doppio altrove. 
(a) Se od è una tangente doppia della Steineriana; o, o i punti di 
contatto ; p, p' i corrispondenti punti dell’ Hessiana ; allora le prime pola- 
ri di tutti i punti di od si toccheranno fra loro sì in p che in pi . Dun- 
que (118, d): 
In una rete geometrica di curve d’ ordine n — 1, vi 
sodo -|-(n-2){»-3)(3» s -3n-8) fasci, in ciascuno de. 
quali le curve si toccano fra loro in due punti distinti. 
(b) Se nella tangente doppia od i punti di contatto si riuniscono in o, 
per modo che essa divenga una tangente stazionaria della Steineriana, anche i 
punti pp' si confonderanno in un solo, e le prime polari dei punti di od a- 
vranno fra loro un contatto tripunto in p, punto doppio della prima polare 
del flesso o. 
Inoltre quelle prime polari toccano in p 1’ Hessiana , perchè le tangenti 
stazionarie della Steineriana fanno parte ( 1 1 8 , d ) del luogo de’ poli delle 
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