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Luigi Cremona 
prime polari tangenti all 9 Hessiana. Donde segue che , se o è un flesso 
della Steineriana e p è il punto doppio della prima polare di o, 
la retta po è tangente all’ Hessiana in p. 
Così è anche dimostrato che in una rete geometrica di curve d’ or- 
dine n-1, v * hanno 3 (n — 2 ) ( 4n — 9) fasci, in ciascun de’ qua- 
li le curve hanno fra loro un contatto tripunto, cioè si osculano 
in uno stesso punto. 
120. Consideriamo una prima polare dotata di due punti doppi p, p ' , e 
sia o il polo di essa. Condotta per o una retta arbitraria R, le prime polari 
dei punti di R formano un fascio, nel quale trovansi 3 ( n — 2 ) 2 punti dop- 
pi (88), cioè i 3 ( n — 2 ) 2 punti comuni ad R ed alla Steineriana sono i 
poli d’ altrettante prime polari dotate di un punto doppio. Ma , siccome due 
punti doppi esistono già nella prima polare di o, così quel fascio avrà sola- 
mente 3(n — 2) 2 — 2 altre curve dotate di un punto doppio; donde s’ infe- 
risce che R taglia la Steineriana non più che in 3 ( n — 2 ) a — 2 punti , oltre 
ad o, cioè o è un punto doppio della Steineriana. 
Quando R prenda la posizione di P retta polare di p , le prime polari dei 
suoi punti passano tutte per p , epperò questo punto conta per due fra i 
3(n— 2) 2 punti doppi del fascio (88, a). I punti p , p' equivalendo così a 
tre punti doppi, il fascio conterrà soltanto altre 3 (» — 2) 2 — 3 curve aventi 
un punto doppio ; e ciò torna a dire che la retta P non ha che 3(n — 2) 2 — 3 
punti comuni colla Steineriana, oltre ad o. Questo punto equivale dunque a 
tre intersezioni della curva con P; e lo stesso può ripetersi per P' retta 
polare di p. 
Per conseguenza: se una prima polare ha due punti doppi 
p, p', il suo polo o è un punto doppio della Steineriana, 
la quale è ivi toccata dalle rette polari di p, p' . 
Ed avuto riguardo al numero de’ punti doppi della Steineriana (118, d). 
si conclude: 
In una rete geometrica dell’ordine »— 1, vi sono 
Ì(n-2)( n -3)(3n 2 -9 n _S) curve, ciascuna delle quali ha 
due punii doppi (*). 
121. Imaginisi ora una prima polare dotata di una cuspide p, e siane o 
il polo. Uua retta qualunque R condotta per o determina un fascio di prime 
polari , una delle quali ha una cuspide in p ; perciò il numero di quelle dotate 
di un punto doppio (88, b) sarà 3(n — 2) 2 — 2. Dunque R incontra la 
Steineriana in due punti riuniti in o. 
Ma se si considera la retta P polare di p, le curve prime polari dei 
suoi punti passano tutte per p , e fra esse ve n' ha soltanto 3 ( n — 2 ) 2 — 3 , 
che siano dotate di un punto doppio (88, c). Cioè il punto o rappresenta tre 
intersezioni della retta P colla Steineriana; ed è evidente che tale proprietà è 
esclusiva alla retta P. 
Dunque: se una prima polare ha una cuspide p, il suo 
