Introduz. ad una teoria geometrica ec. 403 
polo o è una cuspide della Steineriana, la quale ha ivi 
per tangente la retta polare di p (*). 
Ed in causa del numero delle cuspidi della Steineriana (118, d): 
1 2 ( ti — 2 ) ( » — 3) curve, ciascuna delle quali è dotata di una 
cuspide. 
122. Una curva C m d’ ordine m incontri l’ Hessiana in 3 m[n — 2) punti ; 
le rette polari di questi punti saranno tangenti sì all’ ( n — 1 ) ma polare di C m 
(103, e) che alla Steineriana (118, a). Sia p uno di quei punti , ed o quello 
in cui la Steineriana è toccata dalla retta polare di p. La prima polare di o 
ha un punto doppio in p, onde ha ivi due punti coincidenti comuni con C m j dun- 
que, siccome V (n — 1 ) ma polare di C m è il luogo dei poli delle prime polari 
tangenti a C m (103), così o è un punto di questa (n — 1 ) ma polare. Ossia: 
L 5 ( n — \) ma polare di una data curva d ’ ordine m tocca 
la Steineriana in 3m(n — 2) punti, che sono i poli d’al- 
trettante prime polari aventi i punti doppi nelle interse- 
zioni della curva data eoli’ Hessiana. 
Se m — 1 , abbiamo : 
Una retta arbitraria R sega U Hessiana in 3 (n — 2 ) punti , che sono doppi 
per altrettante prime polari; i poli di queste sono i punti di contatto fra la 
Steineriana e 1’ ( n — 1 ) ma polare di R. 
Ed è evidente che : 
Se R è una tangente ordinaria dell’ Hessiana , 1’ ( n — 1 ) ma polare di R 
avrà colla Steineriana un contatto quadripunto e 3n — 8 contatti bipunti. 
Se R è una tangente stazionaria dell' Hessiana , 1’ ( n — 1 ) ma polare di R 
avrà colla Steineriana un contatto sipunto e 3 ( n — 3 ) contatti bipunti. 
* E se R è una tangente doppia dell’ Hessiana, 1’ (n — 1 ) wa polare di R 
avrà colla Steineriana due contatti quadripunti e 3n — 10 contatti bipunti. 
Art. XXI. Proprietà delle seconde polari. 
123. La prima polare di un punto o rispetto alla prima polare di un 
altro punto o f , ossia, ciò che è la medesima cosa (69, c), la prima polare 
di o rispetto alla prima polare di o, si è da noi chiamata per brevità (116) 
seconda polare mista de’ punti od. Avuto riguardo a questa denominazione, la 
seconda polare del punto o, cioè la prima polare di o rispetto alla prima po- 
lare di o ( 69 , b ) può anche chiamarsi seconda polare pura del punto o. 
Se la seconda polare mista de’ punti od passa per un punto a , la retta 
polare di o relativa alla conica polare di a passa per o' ( 69 , d ) ; dunque ( 108 ) : 
La seconda polare mista di due punti od è il luogo di 
un punto rispetto alla conica polare del quale i punti od 
Ond’ è che , data una retta R , se in essa assumonsi due punti od i quali 
(*) Steiner enunciò che la Steineriana (da lui chiamata Kemcurve) ha 12 (n — 2)(n — 3) 
cuspidi (G. di CRBLtK, t. 47, p. 4). Poi Clebsch, avendo trovato lo stesso numero di polari cuspidate, 
sospettò che i poli di queste fossero le cuspidi della Steineriana , e dimostrò questa proprietà pel caso di 
n = i( Ueber Curven vierter Ordnung, Giornale Crrllb-Borchardt , t. 59, Berlino 1861 , p. 131 ^ 
