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Luigi Cremona 
siano coniugati rispetto alla conica polare di un punto a, la seconda polare 
mista di oo' passerà per a. Le coppie di punti in R, coniugati rispetto alla 
conica suddetta , formano un’ involuzione i cui punti doppi ef sono le interse- 
zioni della conica colla retta (108). I punti ef sono pertanto i poli di due 
seconde polari pure passanti per a. 
Di qui s’inferisce che, affinchè una seconda polare mista, i cui poli oo' 
giacciano in R y passi per a, è necessario e sufficiente che oo dividano armo- 
nicamente il segmento e/ 1 ; vale a dire: se oo'ef sono quattro punti armonici, 
la seconda polare mista di oo passa pei poli di tutte le coniche polari conte- 
nenti i punti ef. Ora, quando una conica polare passa per due punti ef, il 
suo polo giace sì nella seconda polare pura di e che in quella di f (69, a); 
gli ( n — 2 )- punti comuni a queste due seconde polari sono poli d’ altrettan- 
te coniche polari passanti per ef, epperò sono anche punti comuni a tutte le 
seconde polari miste che passano per a ed hanno i poli in R. 
Dunque le seconde polari miste passanti per un punto dato e aventi i 
poli in uua data retta formano un fascio d’ ordine n — 2. 
Se una seconda polare mista i cui poli giacciano in R dee passare per 
due punti ab, essa è pienamente e in modo unico .determinata. I punti di R, 
coniugati a due a due rispetto alla conica polare di deformano un’ involuzio- 
ne; ed una seconda involuzione nascerà dal punto b. I punti coniugati comuni 
alle due involuzioni ( 25 , b ) sono i poli della seconda polare mista richiesta. 
Concludiamo adunque che le seconde polari pure e miste i 
cui poli giacciano in una data retta formano una rete geo- 
metrica dell’ ordine n — 2. Inoltre, le seconde polari pure dei punti 
della retta data formano una serie d’ indice 2 ; cioè per un punto arbitrario a 
passano due seconde polari pure i cui poli giacciono nella retta data ( e nella 
conica polare di a ). E il luogo de’ punti doppi delle seconde polari pure e 
miste de’ punti della retta data , cioè l’ Hessiana della rete anzidetto , è una 
curva dell’ ordine 3 ( n — 3 ) ( 92 ). 
124. Abbiamo or ora osservato che per due punti ef della data retta R 
passano (n — 2) 2 coniche polari, i poli delle quali sono le intersezioni delle 
seconde polari pure di e, f. Se questi due punti s’ avvicinano indefinitamente 
sino a coincidere in uno solo f, avremo ( n — 2 ) 2 coniche polari tangenti in f 
alla retta lt, e i loro poli saranno le intersezioni della seconda polare pura 
di f con quella del punto infinitamente vicino in R, vale a dire, saranno al- 
trettanti punti di contatto della seconda polare pura di f colla seconda polare 
della retta data ( la curva inviluppo delle seconde polari pure de’ punti di R , 
ossia il luogo de’ poli delle coniche polari tangenti ad R (104) ). 
Si è inoltre notato che , se oo'ef sono quattro punti armonici (in R) , 
la seconda polare mista di oo' passa per le ( n — 2 ) 2 intersezioni delle secon- 
de polari pure di e, f. Ora, supposto che ef coincidano in un sol punto f , 
anche uno degli altri due ( sia o' ) cadrà in f ( 4 ) ; dunque la seconda pola- 
re mista di due punti of in R passa per gli {n — 2) 2 punti in cui la secon- 
da polare pura di f tocca la seconda polare di R. Ossia : 
La curva d’ ordine 2(n—2), seconda polare di una 
retta R, tocca i n ( n — 2 ) 2 punti la seconda polare pura di 
un punto qualunque o di R. I 2(n — 2) 2 punti in cui la se- 
conda polare dijRè toccata dalle seconde polari pure di 
