Introduz. ad una teoria geometrica ec. 405 
due punti 6,6 di R, giacciono tutti in una stessa curva 
d 5 ordine n — 2, che è la seconda polare mista de’ punti oo. 
(a) Di qui si può dedurre che la seconda polare di una retta ha, ri- 
spetto alle seconde polari pure e miste de’ punti di questa retta , tutte le pro- 
prietà e relazioni che una conica possiede rispetto alle rette che la toccano o 
la segano. 
(b) Nè questo importante risultato è proprio ed esclusivo alle curve se- 
conde polari , ma appartiene ad una rete qualsivoglia. Data una rete geometri- 
ca di curve d 5 ordine m , fra queste se ne assumano infinite formanti una serie 
d 5 indice 2 ; il loro inviluppo sarà una linea tangente a ciascuna curva invilup- 
pata negli m 2 punti in cui questa sega 1* inviluppata successiva. Ma per un pun- 
to arbitrario passano solamente due inviluppate: anzi queste coincidono, se il 
punto è preso nella linea-inviluppo. Donde segue che P inviluppo non può in- 
contrare un’ inviluppata senza toccarla ; e siccome queste due linee si toccano 
in m 2 punti , così P inviluppo delle curve della serie proposta è una linea 
dell 5 ordine 2m. 
Tutte le curve di una rete, passanti per uno stesso punto , formano un 
fascio. Ora , i punti di contatto fra P inviluppo ed un’ inviluppata nascono 
dalP intersecarsi di questa coll 5 inviluppata successiva ; dunque essi costituiran- 
no la base d 5 un fascio di curve della rete. Ossia tutte le curve della rete , 
passanti per un punto ove P inviluppo sia tangente ad una data inviluppata , 
passano anche per gli altri m 2 — 1 punti di contatto fra P inviluppo e P in- 
viluppata medesima. 
Per due punti in cui P inviluppo sia toccato da due inviluppate differenti 
passa una sola curva della rete. Ond 5 è che una curva qualunque , la quale 
appartenga bensì alla rete ma non alla serie, intersecherà la linea-inviluppo 
in 2m 2 punti ove questa è toccata da due curve della serie. 
( c ) Ritornando alla seconda polare della retta R , gli ( n — 2 ) 2 punti 
di contatto fra questa curva e la seconda polare pura di un punto o di R 
compongono la base di un fascio di seconde polari miste, i cui poli sono o 
ed un punto variabile in R. Se due di quei punti di contatto coincidano in 
un solo , le curve del fascio avranno ivi la tangente comune , e per una di 
esse quel punto sarà doppio (47). Questo punto apparterrà dunque alla curva 
Hessiana della rete formata dalle seconde polari pure e miste dei punti di 
R ( 123 ). Ossia in ciascuna delle 6 (n — 2 ) ( n — 3 ) intersezioni di quest 5 Hes- 
siana colla seconda polare di R , quest' ultima curva ha un contatto quadri- 
punto con una seconda polare pura ( il cui polo è in R ) , la quale tocca la 
medesima curva in altri ( n — 2 ) 2 — 2 punti distinti. 
125. La seconda polare della retta R può anche essere considerata come 
il luogo delle intersezioni delle curve corrispondenti in due fasci projettivi. 
Siano 06 due punti fissi, ed i un punto variabile in R. La seconda polare 
mista dì ot e la seconda polare mista di oi s 5 intersecano in ( n — 2 ) 2 punti 
che appartengono alla seconda polare di R, perchè in essi ha luogo il con- 
tatto fra questa curva e la seconda polare pura di i (124). Variando i 
in R, mentre 06 rimangono fissi, quelle due seconde polari miste generano 
due fasci projettivi dell 5 ordine n — 2 ; ed il luogo de' punti comuni a due 
curve corrispondenti è appunto la seconda polare di R. 
Ai punti 06 se ne possono evidentemente sostituire due altri qualunque 
