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Luigi Cremona 
( b ) Da ciò segue che la tangente in p all’ Hessiana è la coniugata ar- 
monica di po rispetto alle due rette che toccano la prima polare di o nel punto 
doppio p (74, c); e se la prima polare di o ha una cuspide in p, la tan- 
gente cuspidale tocca ivi anche 1’ Hessiana. 
Analogamente , la tangente in o alla Steineriana è la coniugata armonica 
di op rispetto alle due rette che formano la conica polare di p. 
( c ) Se si considera una seconda retta R' passante per o , la seconda po- 
lare pura di R' toccherà aneli’ essa 1’ Hessiana in p. Viceversa : le rette le cui 
seconde polari pure passano per p sono le tangenti della conica polare di p 
(104, g); ma questa conica si risolve in due rette passanti per o; dunque le 
rette, le cui seconde polari pure contengono il punto p, passano tutte per o. 
Ossia, P Hessiana è toccata in p dalla seconda polare pura di o e dalle 
seconde polari pure e miste di tutte le rette passanti per o. 
(d) Siccome i contatti dell’ Hessiana colla seconda polare (pura) di una 
retta R corrispondono alle intersezioni di R colla Steineriana , così , se R tocca 
questa curva in un punto o, la seconda polare (pura) di R avrà un contatto 
quadripunto coIP Hessiana nel corrispondente punto p , e la toccherà semplice- 
mente in 3(w — 2) 2 — 2 altri punti. 
Le rette tangenti alla conica polare d’un punto i sono le sole (104, g), 
a cui spettino seconde polari pure passanti per i. Ma quella conica ha 
6(n — l)(n — 2) tangenti comuni colla Steineriana; dunque la serie formata 
dalle seconde polari pure ( di rette ) aventi un contatto quadripunto coll* Hes- 
s iana è dell’ iudice 6 ( n — 1 ) ( n — 2 ). 
Se R è una tangente doppia della Steineriana, la seconda polare (pura) 
di R avrà coll’ Hessiana due contatti quadripunti e 3(n — 2 ) 2 — 4 contatti 
bipunti. 
E se R è una tangente stazionaria della Steineriana , la seconda polare 
( pura ) di R avrà coll’ Hessiana un contatto sipunto , oltre a 3 ( n — 2 ) 2 — 3 
contatti bipunti. 
128. Quali sono le rette le cui seconde polari (pure) hanno un punto 
doppio? Siccome la seconda polare (pura) di una retta R è il luogo dei poli 
delle coniche polari tangenti ad R, così, se quella seconda polare ha un punto 
doppio , è necessario che vi sia una conica polare avente più di due punti co- 
muni con R , cioè una conica polare che si risolva in due rette, una delle 
quali sia R. Dunque: 
Le rette cui spettano seconde polari (pure) dotate di 
punto doppio sono quelle che a due a due costituiscono 
le coniche polari dei punti dell’ Hessiana. E i punti doppi 
delle seconde polari (pure) di quelle rette sono gli stessi 
punti dell’ Hessiana. 
La seconda polare ( pura ) di un punto qualunque i sega P Hessiana in 
3(n— -2) 2 punti, poli di altrettante coniche polari passanti per i, ciascuna 
delle quali è il sistema di due rette. Dunque : 
dell’ Hessiana inviluppano una curva della classe 3(n— 2) 2 . 
129. La seconda polare mista di due rette RR' è il luogo di un punto 
alla conica polare del quale condotte le tangenti dal punto RR', queste tangenti 
formino colle rette date un fascio armonico. Tali coniche polari costituiscono 
