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Luigi Cremona 
SEZIONE III. 
CURVE DEL TERZ’ ORDINE. 
Abi. XXII. Hessiana e la Cayleyana di una curva 
del ter*’ ordine. 
130. Applichiamo le teorie generali precedentemente esposte al caso che 
la curva fondamentale sia del terz’ ordine , vale a dire una cubica C- 0 , che 
supporremo priva di punti multipli; ond’ essa sarà della sesta classe (70) ed 
avrà nove flessi (100). 
(a) Un punto qualunque è polo di una conica polare e di una retta po- 
lare (68). 
Per due punti presi ad arbitrio passa una sola conica polare (77, a). 
Tutte le coniche polari passanti per un punto o hanno altri tre punti o t o 2 o 5 
comuni , e i loro poli giacciono in una retta che è la polare di ciascuno di 
quei quattro punti 00|0 2 0 3 . 
Una retta ha dunque quattro poli ; essi sono i vertici del quadrangolo 
inscritto nelle coniche polari dei punti della retta. 
Tutte le rette passanti per uno stesso punto o hanno i loro poli in una 
conica, la quale è la conica polare del punto o (69, a). 
(b) La retta polare di un punto o r rispetto alla conica polare di un 
altro punto o coincide colla retta polare di o rispetto alla conica polare di 
0 (69 ,c). Ond’ è che, se da o si conducono le tangenti alla conica polare 
di o', e da o' le tangenti alla conica polare di o , i quattro punti di contatto 
giacciono in una sola retta: la seconda polare mista de’ punti od (123). 
( c ) Da un punto qualunque o del piano si possono , in generale , con- 
durre sei tangenti alla cubica data, poiché questa è una curva della sesta 
classe. I sei punti di contatto giacciono tutti nella conica polare del punto o. 
(d) Ma se o è un punto della cubica, questa è ivi toccata sì dalla retta 
polare che dalla conica polare del punto medesimo. In questo caso, da o par- 
tono sole quattro rette, tangenti alla cubica in altri jmnti. Ed i punti di con- 
tatto sono le quattro intersezioni di questa curva colla conica polare di o (71). 
131. Sia o un punto della cubica, la quale intersechi la conica polare 
del medesimo (oltre al toccarla in o ) in dbcd : onde le rette o(a, b, c, d) 
saranno tangenti alla cubica rispettivamente in abcd (130,d). 
Una tangente è incontrata dalla tangente infinitamente vicina nel suo 
punto di contatto (30); quindi, se o' è il punto della cubica successivo ad o, 
le quattro rette o'(a,b,c,d) saranno le quattro tangenti che si possono 
condurre da o. Siccome poi la conica polare di o tocca la cubica in o e la 
sega in abcd, così i sei punti od abcd giacciono tutti in essa conica, epperò 
1 due fasci o(a, b,c,d), o'(a, b, c, d) hanno lo stesso rapporto anarmo- 
