Introduz. ad, una teoria geometrica ec. 
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dell’ illustre Cayley , che ne trovò e dimostrò le più interessanti proprietà in 
una sua elegantissima Memoria analitica (*). 
(c) Le tangenti che da un punto qualunque o dell%Hessiana si possono 
condurre alla Cayleyana sono la retta che unisce o al suo polo coniugato o ' , 
e le due rette formanti la conica polare di d. 
(d) Se abcd sono i quattro poli di una retta R , le coppie di rette (bc , ad), 
(ca , bd) , (ab, cd) costituiscono tre coniche polari, i cui poli giacciono in 
R ; dunque i punti di concorso di quelle tre coppie di rette appartengono al- 
1’ Hessiana. Ossia : 
L’ Hessiana è il luogo de’ punti diagonali, e la Cayle- 
yana è l’inviluppo dei lati del quadrangolo completo i 
cui vertici siano i quattro poli di una retta qualunque. 
134. Siano ad , bb' due coppie di poli coniugati; c il punto comune alle 
rette ab, db'', c' quello ove si segano le ab' , db. Allora aa'bb'cc saranno i 
sei vertici di un quadrilatero completo; e siccome i termini delle due diago- 
nali ad, bb' sono, per ipotesi, poli coniugati rispetto a qualsivoglia conica 
polare, così anche i punti cc' saranno poli coniugati rispetto alla medesima rete 
di coniche (109). Dunque: 
Se abc sono tre punti dell’ Hessiana in linea retta, i 
tre poli db'c' coniugati a quelli formano un triangolo i cui 
lati b'c' , c f d, db' passano per a, b, e. 
Donde si ricava che, dati due poli coniugati aa' ed un altro punto b 
dell’ Hessiana, per trovare il polo coniugalo b' , basta tirare le rette ba, bd 
che seghino nuovamente questa curva in c, c' ; il punto comune alle cd , c'a è 
il richiesto (**). 
(a) Le rette condotte da un punto qualunque o dell’ Hessiana alle coppie 
di poli coniugati formano un’ involuzione ( di secondo grado ). Infatti : se una 
retta condotta ad arbitrio per o sega I’ Hessiana in a e b , i poli d , b' con- 
iugati a questi sono pure in linea retta con o; onde le rette oab , odb' sono così 
tra loro connesse che Y una determina 1’ altra in modo unico. Dunque ecc. 
(b) Viceversa, dati sei punti ad , bb' , cc' , il luogo di un punto o, tale 
che le coppie di rette o{a, d), o(b, 6 ), o(c, c) siano in involuzione, è 
una curva del terz’ ordine , per la quale ad , bb' , cc' sono coppie di punti 
corrispondenti (***). 
135. Quando due de’ quattro poli (poli congiunti) di una retta coincidano 
in un solo o, questo appartiene all’ Hessiana (90, b), e tutte le coniche po- 
lari passanti per esso hanno ivi la stessa tangente od. Siano ( 6g. 8. a ) o { o. 2 
gli altri due poli della retta (o'u) polare di o; cioè siano o { o % i punti in cui 
le rette (ad, bc) formanti la conica polare di o' incontrano quella retta che 
passa per d e forma con od la conica polare di w (133, b). 
Due delle tangenti, che da Oj ponno condursi alla Cayleyana (133, d), 
coincidono con o { o, e la terza è o,o 2 ; così pure, delle tangenti che da o 2 
(*i A Memoir on curve* of thè third order (Philosophical Transactions , 
part 2, 
(***; Cayley , Mémoire sur les courbes du troisième ordre, p. 287. 
