420 
Luigi Cremona 
tangenti all’ Hessiana in due poli coniugati concorrono in uno stesso punto 
della medesima (133); d’altronde essendo i un flesso anche per T Hessiana 
(140, a), questa curva ha ivi colla sua tangente un contatto tripunto ; dunque 
la tangente in i sega l’ Hessiana in », ossia la retta che è tangente (staziona- 
ria) della cubica fondamentale nel flesso i è anche tangente (ordinaria) del- 
P Hessiana nel polo coniugato »' (*). 
Questa proprietà si poteva anche conchiudere dalla teoria generale (118, 
c; 119, b), dalla quale segue ancora che tutte le coniche polari passanti per 
i hanno ivi fra loro un contatto tripunto. 
(a) Ciascuna tangente stazionaria della cubica fondamentale, essendo an- 
che una tangente ordinaria dell’ Hessiana , conta come due tangenti comuni ; 
onde le due curve avranno altre 6.6 — 2.9 = 18 tangenti comuni. Siccome 
poi ogni tangente dell’ Hessiana ha due poli coincidenti nel punto coniugato al 
punto di contatto e gli altri due poli distinti nella Cayleyana (135), così le 
diciotto tangenti (ordinarie) comuni all’ Hessiana ed alla cubica fondamentale 
toccano quest’ ultima curva ne’ punti in cui essa è incontrata dalla Cayleyana. 
( b ) In generale , se o, o' sono due poli coniugati , e se u' è il terzo 
punto comune all’ Hessiana ed alla retta od , questa tocca la Cayleyana nel 
punto o coniugato armonico di u' rispetto ai due od (135, c). Ma allorché 
o sia un flesso della cubica fondamentale , u' coincide con o' ; epperò ( 4 ) 
anche o si confonde con o'. Dunque la Cayleyana tocca 1’ Hessia- 
na nei^ nove poli coniugati ai flessi della cubica fonda- 
(c) Una tangente della Cayleyana, quale è u'r (fig. 8. a ), sega questa 
curva in quattro punti , i quali sono le intersezioni di ur colle rette 
costituenti le coniche polari di o, d (135). Quando o è un flesso della cu- 
bica fondamentale, la conica polare di o è costituita dalla tangente stazionaria 
od e dalla polare armonica, e quesP ultima si confonde con u'r , perchè u r 
ed o' coincidono insieme. Oud" è che de’ due punti oj'o 2 ' V uno cade in o' 
(od m) e l’altro si unisce all’ intersezione di due tangenti infinitamente vicine 
u'r , o 0\ della Cayleyana , cioè al punto di contatto fra questa curva e la retta 
ur. Questa retta ha dunque un contatto tripunto colla Cayleyana; e siccome 
questa curva , essendo della terza classe e del sest’ ordine , non può avere altre 
singolarità all’ infuori di nove cuspidi (99, 100), così: 
Le polari armoniche dei nove flessi della cubica fon- 
damentale sono tangenti alla Cayleyana nelle nove cuspidi 
di questa curva. 
(d) L’ Hessiana e la Cayleyana sono dotate di proprietà completamente 
reciproche. Infatti : 
Una tangente qualunque della Cayleya- In un punto qualunque o dell’ Hessia- 
na sega V Hessiana in due punti corrispon- na concorrono tre tangenti della Cayleya- 
denti,cioè aventi lo stesso tangenziale, ed na; due di esse sono corrispondenti , cioè 
in un terzo punto che è il coniugato ar- la retta che ne unisce i punti di contatto 
monico del punto di contatto della Cayle- è una tangente della Cayleyana; la terza 
yana rispetto ai primi due (135, c). poi è la coniugata armonica, rispetto alle 
due prime, della tangente all’ Hessiana in 
o ( 135, a). 
^ *) Clebsch, V eber die Wendetangenten der Curven dritter Ordnung (Giornate Cbrlle-Boh- 
