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Luigi Cremona 
polari armoniche di 123, le quali fanno parte delle coniche polari di questi 
punti rispetto a tutte le cubiche sizigetiche del dato fascio ( 140 ), così la retta 
123 sarà, relativamente a tutte queste curve, la retta polare del punto r 
( 130, a). Dunque cias cun vertice di un trilatero sizigeticoè 
fiche. 
143. Proseguendo a studiare il fascio delle cubiche sizigetiche, una qua- 
lunque di esse sia incontrata dalla polare armonica / del flesso i ne’ punti 
fflffl'm", onde in questi punti le tangenti alla curva saranno t(m, tri, m"). La 
tangente (stazionaria) alla cubica medesima nel flesso i incontri I in n. La 
cubica è individuata da uno qualunque de’ quattro punti nmm'm" , epperò , al 
variare di quella , la terna mm'm' genera un’ involuzione ( di terzo grado ) pro- 
iettiva alla semplice punteggiata formata dai punti n. 
Se rr t r 2 r 3 sono i punti doppi dell’involuzione, essi sono anche (142) vertici 
de’ quattro trilateri sizigetici ; siano poi $SìS 2 $ 3 le intersezioni dei lati rispetti- 
vamente opposti colla retta /. Per queste cubiche trilatere , le tangenti al flesso 
t sono evidentemente gli stessi Iati *(*, , s 2 , s 3 ); ond’ è che, ogniqualvolta 
i due punti nitri' coincidono in r, i punti mn si confondono insieme con $. 
La retta in , che tocca una cubica del fascio nel flesso i , è anche tan- 
gente all’ Hessiana di questa nel punto n (141). Dunque, se una data cubica 
del fascio incontra la retta I ne* punti mm'm" , le rette » ( m , m' , tri' ) sono 
tangenti nel flesso i ad altrettante cubiche del fascio, aventi per Hessiana la 
curva data. Ossia una data cubica è, in generale, Hessiana di 
tre altre cubiche sizigetiche ad essa (*). 
(a) Se la cubica data è un trilatero, un vertice del quale sia r ed il 
lato opposto passi per s, le tre tangenti t(m', m"), tm riduconsi alle due 
ir, is. La seconda di queste rette può risguardarsi come tangente stazionaria 
della cubica data , la quale è per tal modo Hessiana di sè stessa. E 1’ altra 
retta ir sarà tangente in i ad una cubica (del fascio) avente per Hessiana il 
dato trilatero. Dunque ciascuna cubica trilatera è Hessiana di sè stessa e di 
un’altra cubica (del fascio). Cioè in un fascio di cubiche si zig e- 
tro trilateri del fascio. 
( b ) Cerchiamo se nel dato fascio vi abbia alcuna cubica che sia Hessiana 
della propria Hessiana. Una cubica C ha per Hessiana un’altra cubica, e l’ Hes- 
siana di questa è una nuova cubica C f . Assunta invece ad arbitrio nel fascio 
la curva C' , questa è Hessiana di tre cubiche, ciascuna delle quali è alla sua 
volta Hessiana di tre altre cubiche C ; talché C' dà nove cubiche C. Siccome 
le cubiche C, C' sono individuate dalle rispettive tangenti in » ( 46 ) , od an- 
che dai punti n, ri in cui queste segano la polare armonica /, possiamo dire 
che ad ogni punto n corrisponde un solo punto ri , mentre a ciascun punto 
ri corrispondono nove punti n; quindi la coincidenza di due punti corrispon- 
denti n , ri avrà luogo dieci volte , cioè vi sono dieci cubiche sodisfacenti alla 
condizione proposta. Di questo numero sono i quattro trilateri sizigetici; ep- 
però, lasciatili da parte, avremo: 
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