Introduz. ad una teoria geometrica ec. 423 
Un fascio di cubiche sizigetiche contiene sei cubiche, 
ciascuna delle quali è Hessiana della propria Hessiana (*). 
144. Vogliamo ora trovare la relazione segmentarla esprimente la projet- 
tività che ha luogo fra 1’ involuzione di terzo grado formata dai punti mm'm" 
e la semplice serie generata dal punto n (143). Preso per origine de’ segmen- 
ti un punto r , cioè quel vertice di uno de' trilateri sizigetici che cade nella 
retta I ; e chiamato m uno qualunque de’ punti mm'm", la projettività di che 
si tratta sarà espressa da un’ equazione della forma ( 24 , a ) : 
1) (A.rn + A’)™* + 3{B.rn + É')rm +3(C.rn + C')rm+D.rn-hD' = 0, 
ove A, A', B,... sono coefficienti costanti. Il punto s corrispondente ad r (143) 
suppongasi a distanza infinita , com’ è lecito fare senza sminuire la generalità 
dell’ indagine ; perchè trattandosi qui di relazioni fra rapporti anarmonici , 
possiamo ai punti nella retta I sostituire le loro projezioni fatte da un centro 
arbitrario sopra una retta parallela al raggio che passa per s (18). 
Ciò premesso , siccome i tre valori di rm corrispondenti ad rn=rs=oo 
devono essere rm = rs , rm! — 0 , rm" = 0 , cosi se ne trae A — 0 , C = 0 , 
D — 0. 
D’ altronde s è un punto della retta polare di r rispetto a qualunque 
cubica del fascio (142), quindi (11): 
ma rs è infinito, dunque C' = 0. Così l’equazione 1) diviene: 
2) A 1 , rm ■+• 3( B. rn -h B' ) rm -b D' = 0. 
La condizione affinchè la 2), considerando rm come incognita, abbia due 
radici eguali è: 
3) . A'*D' 4 (B.rn + #)* = 0, 
cioè questa equazione del terzo grado rispetto ad rn darà quei tre punti n 
( ) a ciascuno dei quali , come ad s , corrispondono due punti m coin- 
cidenti ( ). 
Se nella stessa equazione 2) si fa rm = rn , ottiensi : 
4) ( A' -+• 35) rn •+• 3 B'.Vn -f- D' = 0 , 
ossia ciascuno de’ punti n dati dalla 4) coincide con uno de’ corrispondenti 
punti m. Ma i punti n dotati di tale proprietà sono ( oltre ad s ) gli stessi 
punti s ( s^s 5 dati dalla 3) ; dunque le equazioni 3) , 4) , dovendo ammettere le 
stesse soluzioni, avranno i coefficienti proporzionali. 
{*) Salmo* , ITigher piane curves , p. 184. — Aroshold, Zar Theorie der homogenen Fun- 
ctionen dritten Grades von drei Variabeln (Giornale di Crklle, t. 39, Berlino 1850 , p. 153). 
