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Luigi Cremona 
L’ equazione 4) non contiene 1* rn lineare ; onde eguagliando a zero il 
coefficiente di rn nella 3) , si avrà BB' 2 = 0 , ossia B' — 0 ; perchè il por- 
re B = 0 farebbe scomparire il segmento rn dalla 2). Quindi le 3) , 4) di- 
vengono : 
42 ? 3 . ~rn -+- A'*D' = 0 , ■+• 31?) m ■+■ D' = 0 , 
donde eliminando rn si ha : 
5) {A'—B)(A’ -h2B)*=0. 
Posto A' = 2? e per brevità 2)' = — 4h z B, ovvero posto A' = — 22? e 
per brevità D' = — fc 3 2?, le equazioni 3), 4) in entrambi i casi danno : 
6) = 
e le radici di questa equazione saranno rs t , rs 2 , rs 3 . 
Fatto adunque À 3 = rn , Bl — 0 ed inoltre A' = B , ovvero 4' = — 2 jB, 
P equazione 2) diviene nel primo caso : 
7) (rm-rn)(rm + 2rn) 2 = 0, 
e nel secondo: 
(rm-rn) 2 (2rm-t-rn) = 0. 
Cioè nel primo caso uno de 5 tre punti m corrispondenti ad n = ( , s 2 , s 3 ) 
coincide collo stesso n, mentre gli altri due si riuniscono in un sol punto 
( r, , r 2 , r 3 ) diverso da n. Nel secondo caso invece , due de’ tre punti m cor- 
rispondenti ad n = ( Si , s 2 , s 5 ) cadrebbero in n. Ma nella quistione che ci 
occupa si verifica il primo caso, non il secondo (143); ond’ è che dobbiamo 
assumere Al = B , non già Al = — 22?. 
Dunque la richiesta equazione per la projettività fra 1’ involuzione forma- 
ta dalle terne di punti mm'm" e la semplice punteggiata formata dai punti n 
può essere scritta così : 
8) rm -f- 3rn.m 2 - 4À 3 = 0, 
ove h esprime un coefficiente costante. 
(a) 1 punti SiS 2 s 3 sono dati dal P equazione 6) , ed i punti r { r 2 r 3 dalla 7): 
rm -t- 2rn = 0 , 
ossia dalla: 
rm -f- 8A 3 = 0 ; 
dunque entrambi i sistemi di quattro punti ss^, rr^z sono equianar- 
monici (27). 
Ne consegne che, se i è un flesso reale delle cubiche sizigeticbe, due 
de’ quattro vertici r giacenti nella polare armonica I sono reali , gli altri due 
imaginari (26). E per la reciprocità già avvertita (141,d), due delle quat- 
tro rette R ( lati de’ trilateri sizigetici ) concorrenti in i saranno reali , le al- 
tre due imaginarie. Che almeno uno de’ flessi di una cubica sia reale , risulta 
