Introduz. ad una teoria geometrica ec. 425 
manifesto dall' essere dispari il numero totale delle intersezioni della cubica 
coll' Hessiana, 
Sia dunque 1 un flesso reale; e delle quattro rette R (140,b), cioè 
123., 148, 157, 169, siano reali le prime due, imaginarie coniugate le al- 
tre. 1 quattro flessi 57; 69 saranno necessariamente tutti imaginari,ed invero 
uno de’ primi due sarà coniugato ad uno degli altri due. Siano coniugati 5 e 
9, 6 e 7. Le due rette reali 59, 67, e le due rette imaginarie coniugate 
56, 79 si segano separatamente in due punti reali r, r ì9 situati nella polare 
armonica del flesso 1 (139, a). 
Essendo reali le rette 123, 148, i flessi 23, e così pure 48, sono o 
entrambi reali, o imaginari coniugati. D'altronde le coppie di rette [24 , 38], 
[28,34] devono dare gli altri due vertici r 2 , r 3 , situati in linea retta con 
r, r { . Ma r 2 r 3 sono imaginari, dunque i punti 2348 non possono essere nè 
tutti reali, nè tutti imaginari; cioè 23 sono reali, e 48 imaginari. 
Da ciò segue che de 5 nove flessi di una cubica tre soli 
(in linea retta) sono reali, essendo gli altri imaginari 
coniugati a due a due (*). E delle dodici rette À, che contengono le 
terne de’ flessi, quattro [123, 148, 259, 367] sono reali; le altre no. Uno 
de' quattro trilateri sizigetici ha un solo vertice reale; un altro ne ha tre; i 
rimanenti nessuno. 
(b) Come si è supposto sin qui, sia m uno de' punti in cui una data 
cubica del fascio sega la retta 7, e sia n l’ intersezione di questa medesima 
retta colla tangente al flesso ». Supponiamo poi che i punti il/, N abbiano 
analogo significato per l’ Hessiana della cubica suddetta ; avremo similmen- 
te alla 8): 
r5 3 + 3riV . r5 2 - 4A 3 = 0. 
Ma 1’ Hessiana passa, come si è già osservato (143), pel punto n, 
talché sarà: 
9) ra 3 + 3rJV.ra 2 -4A 3 = 0, 
donde , dato il punto n , si desume il punto N. Per esempio , se n cade in r , 
si ha riY = oo , cioè N coincide con s ; e se n è uno de’ punti r,r 2 r 3 , ossia 
se » è dato dall* equazione : 
7n ■+■ 8A 3 = 0, 
2 rN+m=fi, 
vale a dire, N è uno de’ punti *|S 2 s 3 . Di qui si ricava che le cubiche sizi- 
getiche le cui tangenti al flesso i passano per uno de’ punti rr,r 2 r 3 hanno 
per Hessiane i trilateri sizigetici; come già si è trovato altrove (143, a). 
Se invece è dato il punto N , 1' equazione 9) dà i tre punti n corrispon- 
denti alle tre cubiche, la comune Hessiana delle quali è la curva relativa al 
dato punto N (143). 
T. XII. 
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