Luigi Cremona 
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(c) Se la cubica data è Hessiana della propria Hessiana (143,b), si 
avrà oltre V equazione 9) anche la : 
rìy 5 *+• 3rn.riV 2 — 4A 3 = 0. 
Sottraggasi questa dalla 9), e dalla risultante, omesso il fattore rn — rW 
che corrisponde alle cubiche trilatere, si elimini rN mediante la medesima 9); 
ottiensi così la: 
10) rn 6 - 20 A 3 . rn - 8A 6 = 0 , 
equazione di sesto grado, che dà i sei punti n corrispondenti alle sei cubiche 
dotate della proprietà d’ essere Hessiane delle proprie Hessiane. 
145. Le quattro tangenti che in generale si possono condurre ad una 
cubica da un suo punto , nel caso che questo sia il flesso i , sono le rette 
i (n j m , m', m" ). Ond 5 è che il rapporto anarmonico della cubica (131,b) 
sarà quello de’ quattro punti nmm'm " , ne* quali la polare armonica del flesso 
è incontrata dalla tangente stazionaria e dalla cubica medesima. 
Ciò premesso , possiamo ricercare quali fra le cubiche sizigetiche del dato 
fascio sono equianarmouiche e quali armoniche ( 1 3 1 b ). 
Siccome i tre punti mmm " sono dati dalla 8), così i quattro punti 
nmm'm'' saranno rappresentati dall’ equazione : 
11) rm 4 *+• 2rn . rm° — 3 rn . rm — 4À 3 . rm -+- 4A 3 . rn = 0 , 
che si ottiene moltiplicando la 8) per rm — rn. 
La condizione necessaria e sufficiente affinchè la 11) esprima un sistema 
equiauarmonico è (27): 
rn (rn° -+• 8A 5 ) = 0 , 
che rappresenta i quattro punti rr ) r^r z . Dunque (144,b) un fascio di 
cubiche sizigetiche contiene quattro curve equian armo- 
niche, ciascuna delle quali è anche dotata della proprie- 
tà d'aver per Hessiana un trilatero (sizigetico). 
Affinchè la 11) rappresenti un sistema armonico, dev’essere (6): 
m 6 - MKm - Sh 6 = 0. 
Quest' equazione coincide colla 1 0) ; dunque un fascio di cubiche si- 
zigetiche contiene. sei curve armoniche, le quali sono an- 
deMe^t^prie Hessiane f*). 8 
