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Luigi Cremona 
Saravvi adunque (50, b) un luogo di terz’ ordine sodisfacente alla duplice 
condizione di passare pei punti comuni ai due sistemi («a 0 , §b {) , yc 0 ) , 
( aa { , §b { , yc 0 ) , e di contenere le intersezioni dei due sistemi («/? , a 0 6 0 , a 0 ó 0 ), 
( afi , a l b i , ). Queste due condizioni sono appunto sodisfatte dal sistema 
di tre rette (afa [0l][10], yc 0 ), ove [01] indica il punto comune alle ret- 
te «a 0 , @b i9 ed [10] il punto ove si segano le aa { , . D* al fronde , qua- 
lunque luogo di terz’ ordine appartenente al fascio determinato dai due siste- 
mi (afa a 0 6 0 , a o^o)> i a P 3 a J > i ? a i^i ) non P u ^ essere altrimenti composto 
che della retta a/? e di un pajo di rette coniugate nell 9 involuzione quadratica 
i cui raggi doppi sono a 0 ò 0 , afa (*). Dunque la retta [01][10] passa pel 
punto c 0 ed è coniugala armonica di yc 0 rispetto alle a 0 ò 0 , (25, a). 
(c) Per la stessa ragione, se aa Q incontra /?6 2 , /26 3 in [02], [03], e se 
/2ò 0 incontra «a 2 , aa 5 in [20] , [30] , le rette [02][20], [03][30] passano per c 0 . 
Laonde, rappresentato con [00] il punto comune alle «a 0 , i due sistemi di 
quattro punti [00, 01 , 02, 03], [00, 10, 20, 30] avranno eguali rapporti 
anarmonici , imperocché essi risultano dal segare colle due trasversali aa 0 , 
/96 0 uno stesso fascio di quattro rette concorrenti in c 0 . Ne segue che i rap- 
porti anarmonici de’ due fasci a(a Q , a { , a 2 , a 3 ) , P(b 09 b { , 5 2 , b 5 ) sono 
eguali, ossia che i sei punti [00], [11], [22], [33], a, § giacciono in 
una stessa conica, come si è già dimostrato altrove (131, a). 
Analogamente, concorrendo in c { le quattro rette fl 0 ^i -> a i^o^ a zh s afa > 
i due fasci a( a 0 , a { , o 2 > a z)o P ( &i .> j h j h ) a? ranno eguali rapporti anar- 
monici; ecc. 
(d) Come nel punto c 0 concorrono le rette [01][10] , [02][20] , . . . 
così » c t » [00][1 1] , [22][33] , . . • 
» c 2 » [00][22] , [33][11] , . . . 
» c 3 » [00][33],[ll][22],...n. 
Dunque i punti [00], [11], [22], [33], ove si segano i raggi omo- 
loghi de’ due fasci proiettivi a ( a 0 , a { , a 2 , a 3 ) , ( 6 0 , b { , & 2 , b 5 ) , formano 
un quadrangolo completo, i cui punti diagonali c t , c 2 , c 3 appartengono alla 
cubica e sono i punti di contatto di tre tangenti concorrenti in y, terza in- 
tersezione della curva colla retta a§. 
Quando i punti a§ coincidano , ritroviamo un teorema già dimostra- 
to (146, a). 
(e) I punti a, sono i centri di due fasci proiettivi, ne’ quali alle 
rette a(a 0 , a { , a 2 , a 3 ) corrispondono P(b 0i , ò 2 , 5 3 ). Condotta per a una 
retta qualunque che seghi §b Q nel punto [#0] ; unito [#0] con c 0 mediante 
una retta che seghi aa 0 in [ Ox ] ; sarà p[0x] la retta corrispondente ad a[aO]. 
In questo modo si trova che alla retta a§ corrisponde pc 0 od «c 0 , secondo 
che si consideri appartenente al fascio a 0 Dunque (59) ac 0 , @c 0 so- 
