—m— 
horada le deben especialmente gran numero de los teoremas que son la liare de su* 
adelantos i de sus maravillosos descubrimientos. 
Las ventajas obtenidas hasta aquí eran mui considerables sin duda, pero estaban 
lejos de llenar cumplidamente los fines de la ciencia: si era verdad, que con los mé- 
todos de construcción conocidos, quedaban al alcance de la jeomclria lodos los re* 
cursos del áljebra, también lo era que habia en ellas un aislamiento, una incoheren- 
cia que hacia penosa su aplicación, pues cada teorema, i aun mas, cada prollema, 
tenia una ejecución jeomélrica que le era propia; no habia un principio jeneral a 
que todos se subordinasen, ni leyes constantes, que nos hiciesen saber a punto lijo. 
Como debíamos proceder en toda cuestión jeomélrica sometida al análisis, cuando lle- 
gase el caso de construir sus resultados: fallaba en buenos términos un sistema sen- 
cido i lójieo, que abrazase en un mismo cuerpo de doctrina, la espresion jeomélrica, 
ile todos los resultados aljebraicos, i la representación i discusión aljebraica de todos 
los elementos i cuestiones jeomélricas, es decir, la doble teoría que hemos señalado 
como piedra angular de la aplicación del áljebra a la jcomelria. Era preciso relacio- 
nar las diferentes liueas jeomélricas por medio de ecuaciones; i establecer así, un 
convenio tanto mas hermoso, cuanto que las diversas constantes que entran en ella, 
el numero de variables, el grado del esponenle i los signos de sus términos, son otras 
tantas circunstancias que nos revelan propiedades inherentes i peculiares a sus dife- 
rentes magnitudes, forma i posición. 
Esta es la bella concepción de Descartes; el establece que toda línea tiene una ecua- 
ción que le es propia. Principia por observar, que todo cuerpo contiene en si a mas 
de la idea de magnitud, única considerada por los antiguos, la de forma i posición; 
ve que estas tres partes tienen entre sí una íntima dependencia; pues que la forma 
<le una linea es el resultado de la posición de los diferentes elementos que la consti- 
tuyen, miénlras la idea de posición revela el conocimiento de la magnitud. De este 
modo él trata desde luego de fijar analíticamente el elemento mas sencillo de todos 
os cuerpos; ya sobre un plano para determinar las ecuaciones de todas las líneas de 
esta naturaleza; ya en el espacio para deducir los correspondientes a las superficies 
i lineas de doble curvatura. Para esto, se valió de un método, que el hombre emplea 
como por instinto, cuando trata de dar una idea del lugar que ocupa un objeto, esto 
es, referirlo a otros que le sean conocidos. 
Varios son los sistemas de coordenados que desde luego se emplean; unos presen- 
tan ventajas respecto de otros, según los casos particulares que se consideran; pero el 
que do un modo jeneral conviene mas a todos por presentar construcciones mas sen- 
cillas, como después veremos, es sin duda el de los ejes rectangulares; Si considera- 
mos sobre un plano dos rectas que se corten perpcndicularmenle, veremos que un 
punto cualquiera de él queda determinado, siempre que ( ¡.nuzcamos las distancia 5 
de este punto a las dos rectas fijas que denominamos ejes: estas dos magnitudes que 
constituyen sus coordenadas forman con dichas rectas un rectángulo fácil de cons- 
truir en todos casos, i en el que el vértice del ángulo opuesto al que forman los ejes 
entre si determina el punto propuesto. Pero vemos que las mismas magnitudes pue- 
den convenir a cuatro puntos simétricamente colocados i correspondientes a los cua- 
tro ángulos que forman entre si los ejes; lo que es necesario distinguir desde luego 
por un convenio. Partiendo del ángulo superior de la derecha, para que el punto re- 
taba las posiciones indicadas i raciocinando con las cantidades que representan sus 
coordenadas, según el espíritu del áljebra, establecemos la leí de los signos que nos 
dice: el eje de las obsisas separa las ordenadas positivas de las negativas, i el de las 
ordenadas hace igual separación respecto de las obsisas. Según este sencillo convenio 
Vemos, que el problema que antes nos presentaba cuatro soluciones, ahora queda 
Completamente determinado; 
