Le trasformazioni cremoniane piane di tersa classe , ecc. 
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il ragionamento fatto suppone che la trasformazione di cui si tratta abbia almeno 
quattro punti fondamentali, cioè che sia n > 2. Ma se fosse n = 2 il teorema continue- 
rebbe a sussistere , nel senso che 1’ ordine della curva fissa sarebbe sempre n f] con 
7] > 0. 
5. — In una trasformazione del De Jonquières di grado n , i due fasci di raggi 
aventi rispettivamente i centri nei punti fondamentali (n — l)pli dei due piani, sono proiet- 
tivi, e generano mediante le intersezioni di due raggi corrispondenti, una conica. Segue 
che se la trasformazione contiene una curva unita , questa non può essere di or- 
dine maggiore di 2. 
Inversamente : data una conica , si può sempre costruire una trasformazione del De 
Jonquières che abbia questa conica come curva unita. 
Infatti, sia C' una conica arbitraria del piano, P,. e P :/ due punti di essa. 
Si. considerino due curve G ed F dell’ ordine n — l, aventi rispettivamente un punto 
(n — 2)plo in P, e P, r Tra i punti delle due rette che congiungono un punto arbitrario 
P di C 1 2 3 con P x e P y stabiliamo una corrispondenza proiettiva, coordinando a P se stesso, 
a P x 1’ ulteriore punto d’ incontro della congiungente PP y con la curva F (oltre P y ) , ed 
a Py 1’ ulteriore punto d’ incontro del raggio PP X con la curva G (oltre P x ). Così resta 
stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano : dato un punto Q x per esso 
passa un raggio del fascio di centro P x a cui corrisponde quel raggio per P y che lo ta- 
glia sulla conica C 2 ; il corrispondente di Q. c nella proiettività tra questi due raggi è il 
corrispondente punto Q y dell’ altro piano. E viceversa. 
I punti della C 2 sono uniti. 
La trasformazione è del tipo De Jonquières, poiché ai raggi del fascio di centro P x 
corrispondono quelli del fascio di centro P y \ P x e P y sono i due punti fondamentali 
{n — l)pli. 
6. — La conica C 2 generata dai due fasci proiettivi di raggi aventi i centri nei punti 
fondamentali (n — l)pli di una trasformazione del De Jonquières, può scindersi in due rette, 
delle quali una soltanto sia fissa, e l’altra sia semplicemente corrispondente a se stessa. 
Due casi sono possibili: o la retta fissa passa per i punti fondamentali ( n — 1 )pli , o non 
vi passa. Diamo le due costruzioni. 
Quanto alla prima, fissiamo nel piano due punti P x e P,„ una curva d’ordine n — l, 
f con un punto (il — 2)plo in P y e passante per P x ; ed una curva d’ordine n — 1 , j con 
un punto ( il — 2)plo in P x e passante per P y . Diciamo r la retta P x P !n g una retta non 
passante nè per P x nè per P y , e g' una curva d’ordine n con un punto (n — 1 )plo in P y 
che passi per il punto ove g taglia r. 
Ciò posto, riferiamo il fascio di rette P cc prospettivamente al fascio di rette P„ pren- 
dendo g come asse di prospettiva ; e se in questa prospettivività alla retta m del primo 
fascio corrisponde la retta ni del secondo fascio , stabiliamo tra m ed ni la proiettività 
che fa corrispondere : 
1) al punto P x di m 1’ intersezione di ni con f diversa da P,, ; 
2) all’ intersezione di m con j, diversa da P x , il punto P y di ni ; 
3) all’intersezione di ni con g, l’intersezione di ni con g diversa da P tJ . 
