Le trasformazioni cr emoni cine piane di terza classe , ecc. 
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al punto 0 comune alle congiungenti ciascuno di due punti dati rispettivamente con i 
corrispondenti P ;/ e P y > dell’ altro piano. 
Tutte le curve isologiche di un piano passano : 
1) per tutti i punti P (x { x 2 x 3 ) del piano che corrispondono a se stessi, per i 
quali hanno luogo contemporaneamente le : 
’-h — x t — 0 . 
x % 4> 3 — - r 3 ^2 = 
0 , 
i ^3 ^ 3 ^ > 
x\ <p 2 — x. 2 cp , = 0 , 
X i T 3 ‘^'3 T 2 
0, 
O 
w 
1 
11 
0 
ove le cp e le sono espresse in x ; 
2) per ciascun punto fondamentale del proprio piano , e con tanti rami quanti ne 
comporta il suo ordine. (Questa proprietà si rileva dal comportamento delle curve <p ( =:0, 
= 0 nei punti fondamentali). 
Se la trasformazione contiene una curva fissa, è evidente che questa si stacca da ogni 
curva isologica, mentre le rimanenti curve isologiche formano una rete. Le curve isolo- 
giche da cui s’ è già staccata la curva fìssa passano ancora per i punti fondamentali i di 
E x con Vi — p, rami, e per quelli di E y con s, — o, rami (0 <T P/ <T 1, 0 < Q/ 1). 
§3. — Curva N. Classe di una trasformazione. 
9. — Se il centro 0 di isologia si muove sopra una retta P l P t , ciascuna curva 
J Xì J y descrive un fascio. L’asserzione è subito dimostrata, introducendo le coordinate di 
un punto della congiungente P v P 2 nell’equazione della curva isologica. E poiché le curve 
isologiche dei due piani si corrispondono , i due fasci sono anche riferiti proiettivamente 
1’ uno all’ altro. Essi dunque generano mediante le intersezioni di due curve corrispondenti, 
una curva dell’ordine 2 {n -|- 1): questa contiene: 
1 ) la • congiungente L\ P t , poiché su essa si tagliano due curve corrispondenti; 
2) tutti i punti uniti ; 
3) tutti i punti che sono allineati con i due corrispondenti , quando si considerano 
appartenenti contemporaneamente ai due piani. 
Il luogo di questi punti lo chiameremo col Prof. Guccia (*), curva N. 
Se la trasformazione non contiene curva fissa , la curva N è dell’ ordine 'In -(- 1 ; 
difatti la sua equazione è : 
fPi (5) , T 2 (5) , <Ps (£) ! = 0 . 
( 5 ) , ( 5 ) , ( 5 ) 
Questa mostra che la curva N passa per ogni punto fondamentale dell’ uno e dei- 
fi altro piano con una multiplicità uguale al suo ordine. 
Se la trasformazione contiene una curva fissa dell’ordine |x, le curve isologiche sono 
dell’ordine n- ]— 1 — jx , il luogo generato dai due fasci proiettivi di curve isologiche , re- 
( # ) G. GUCCIA — Rendiconti del Circolo matematico 1884-87. 
