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D. ssa Rosaria Abbia 
[Memoria HI.] 
Vogliamo studiare quali sono i tipi a cui conducono queste tre alternative, ed esclu- 
diamo che si tratti di una trasformazione del De Jonquières, perchè per una tale trasfor- 
mazione, la discussione è subito esaurita dal seguente teorema : 
Una trasformazione del De Jonquières è della terza classe quando e solo 
quando è del terzo ordine e non ha curva fissa, oppure è del quarto ordine ed 
ha una retta fissa, oppure è del quinto ordine ed ha una conica fissa. 
14. - 1) Nel 1° caso indicando con S{r,) la somma delle multiplicità dei punti fon- 
damentali per i quali passano tutte le curve isologiche del piano , poiché ad una curva 
isologica ne corrisponde nell’altro piano una dello stesso ordine, si ha: 
5 (ri) — 4 ( 7 / — 1 ) 
il che è impossibile perchè il massimo valore di S (r,) è 3 (n — 1). 
15. — 2) Il 2" caso comprende tre sottocasi che corrispondono al passaggio delle 
curve isologiche con due rami per uno, due o tre punti fondamentali. 
Il 1° sottocaso deve essere escluso. 
Infatti indichiamo con r d la multiplicità di quel punto fondamentale per cui le curve 
isologiche passano con due rami , e con a (?',) la somma delle multiplicità di quei punti 
fondamentali per cui le curve isologiche non passano. Avremo, sempre per il fatto che 
le due curve isologiche corrispondenti sono dello stesso ordine : 
i 
y 
ma 2 ~ 3 {n — 1 ) , quindi : 
i 
n — l = r d — o (rì) . 
Ma le trasformazioni del De Jonquières essendo escluse : 
r,i < n — 1 
dunque : a <C 0 
relazione assurda. 
Quanto al secondo sottocaso , prima di passare all’ esame di ciascuna delle ipotesi 
possibili , si osservi che vengono a priori escluse le prime cinque e la settima delle tra- 
sformazioni date dal quadro dell’articolo 12. Per renderci ragione di questa asserzione, 
fermiamoci, per esempio, all’ esame della prima trasformazione : 
il — 10, 1 punto fondamentale sestuplo, 7 tripli in ciascun piano. 
Uno dei punti doppi delle curve isologiche può o no coincidere col punto fondamen- 
tale sestuplo. Se vi coincide, per 1’ osservazione fatta alla fine dell’articolo 8 del § 2 del 
Gap. 1, la curva unita passa con quattro rami per il punto fondamentale sestuplo; se non 
vi coincide , cioè se le curve isologiche passano per il punto fondamentale sestuplo con 
un ramo o se non vi passano affatto, la curva unita vi passa con cinque o sei rami. 
In ogni caso il comportamento della curva unita in detto punto fondamentale con- 
duce ad una contraddizione del teorema li dell’ art. 2 del precedente capitolo. 
Anche la seconda trasformazione : 
n = 8 , 7 punti tripli, 
viene esclusa. 
Difatti se le curve isologiche passano con 2 rami per due punti fondamentali tripli , 
