L'e trasformazioni cremoniane piane di tersa classe , ecc. 
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passeranno con un ramo o non passeranno affatto pei rimanenti punti fondamentali. Ma 
per la citata osservazione dell’art. 8 del § 2 del precedente capitolo, la curva unita deve 
allora passare con due rami per tali rimanenti punti , e si contraddice il teorema 11 dei- 
fi articolo 2. 
Per analoghe ragioni vengono escluse le altre trasformazioni. 
Passando poi per le rimanenti trasformazioni del quadro dato , all’ esame delle varie 
ipotesi possibili , e tenuto sempre conto del fatto che le curve isologiche corrispondenti: 
dei due piani sono dello stesso ordine, si hanno le seguenti relazioni : 
4 (n — 1 ) 
4 («— l) 
4 [n — 1) 
— 2 V i + “ r 2 r 3 H - •••• + r H 
— ~ r i + - T -2 "F r 3 + •••• r i 
2i\ -f- 2 r 2 r 3 -f- .... -f- r 6 
4 (»- 1) — 2 1 \ 2r 
2 ’ 
ove con r v , r 2 indichiamo le multiplicità di quei punti fondamentali per cui le curve iso- 
logiche passano con due rami, e con r 3 , r, ... r s le multiplicità di quei punti fondamen- 
tali per cui le curve isologiche passano con un ramo. Poiché la prima di queste relazioni 
suppone 1’esistenza di almeno otto punti fondamentali, nessuna delle rimanenti trasforma- 
zioni del quadro precedente la verifica, le rimanenti relazioni sono verificate dai seguenti 
tipi di trasformazioni : 
n—6, 2 punti tripli, 4 doppi, l semplice 
n— 5, 1 punto triplo, 3 doppi, 3 semplici 
n— 5, 6 punti doppi ; 
ed : 
n= 4, 3 punti doppi, 3 semplici, per 4 {n — 1) = 2 r, -f- 2r, -j- r 3 -}-... -J- r. . 
Nel terzo sottocaso la rete delle curve isologiche può ancora soddisfare ad altre tre 
condizioni al massimo. 
C ome prima , esaminando separatamente le varie ipotesi , si trovano possibili le se- 
guenti trasformazioni : 
n = 5, 1 punto triplo, 3 doppi, 3 semplici, per 2 r L -f- 2 r 2 -f- 2 r 3 -f- ì\ — 4 (n — 1), 
ed : 
n — 4 , 3 punti doppi, 3 semplici, per 2 r, -f 2 r 2 2 r 3 = 4(w--l) . 
16. — 3) In questo caso la rete delle curve isologiche oltre al punto base triplo 
coincidente con un punto fondamentale del proprio piano , può ancora avere altri sei (al 
massimo) punti base semplici in punti fondamentali. 
Esaminando anche qui le varie ipotesi, si trova possibile la seguente trasformazione : 
n — 5, i punto triplo, 3 doppi, 3 semplici, per 3r, -f- r 2 -j- r 3 -f- r 4 -j- r h = 4 (n — 1). 
\ 
per 4 («— 1 ) = 2r t + 2 r 2 + r 3 + . . . + r 6 
