Le trasformazioni cremoniane piane di tersa classe , ecc. 
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e possiamo supporre che il fascio (l) sia il trasformato del fascio di rette di centro 
e quindi il fascio (2) il trasformato del fascio di rette di centro Come è chiaro ogni 
retta del fascio t y o del fascio i 2 taglia la cubica unita negli stessi due punti mobili in 
cui questa è tagliata dalla cubica corrispondente del fascio (1) o del fascio (2). 
19. — Ciò posto , cerchiamo di invertire le considerazioni precedenti : in tal modo 
dimostreremo l’esistenza effettiva della nostra trasformazione, e nel tempo stesso ne as- 
segneremo la costruzione. 
Prendiamo in un piano una cubica generica C 3 (di genere 1) e fissiamo su di. essa 
sei punti generici x 15 t 2 , 8 t , 8 2 , 5 :j , 8 4 . I due fasci di cubiche: 
tagliano sulla C 3 due serie lineari semplicemente infinite di coppie di punti , o , come di- 
cesi, due g l 2 ; e, coiti’ è noto, ognuna di queste g l ì può pure ottenersi tagliando la C 3 
con ie rette uscenti da un suo punto. Ebbene, sia /, il punto di C 3 che dà luogo , nel 
modo ora chiarito, alla g l 2 generata dal fascio (1), e /, quello che dà luogo alla g l 2 ge- 
è chiaro che tra le due coppie di fasci vengono stabilite due projettività. 
Adesso, preso un punto generico P x del piano, si considerino le rette dei fasci e 
t , passanti per esso , e si chiami P y V intersezione delle cubiche ad esse corrispondenti 
nei fasci (1) e (2) che non cade nei punti base : la corrispondenza tra P x e P y così de- 
finita è appunto una trasformazione cremoniana del sesto ordine e della terza classe, del 
tipo voluto. 
In essa infatti ogni retta del piano viene mutata in una sestica con due punti tripli 
in ij, , e quattro punti doppi in Ò t , S 2 , 5 3 , 5 4 . La cubica C' è unita punto per punto. 
Chiamando s il terzo punto d’ incontro della congiungente t l t. 2 con la C 3 , osserviamo 
che esso corrisponde alla retta t l t 2 del piano E x . 
Inoltre £ è punto base del sistema di sestiche. Invero ogni retta r del piano incon- 
tra la C t 2 in un punto che ha come corrispondente il punto £ : la sestica corrispondente 
ad r passerà quindi per £ . 
20. — La costruzione data non cade in difetto se la curva unita è una cubica no- 
dale, perchè i due fasci di cubiche ausiliarie (v x 2 Sj 8 2 S 3 5 4 ) , (t, 8 4 8 2 Ò 3 8 4 ) determi- 
nano sulla cubica nodale due g l 2 per ciascuna delle quali il punto doppio costituisce un 
gruppo di due punti, ed in tal caso ciascuna delle g [ , può ottenersi segando la curva con 
le rette uscenti da un suo punto. Per persuadersi di quest’ ultima asserzione’, si osservi 
che: ogni C 3 piana nodale può ottenersi per proiezione di una f sghemba, da un punto 
ad essa esterno 0. 11 punto doppio di C 3 è traccia della corda (unica) di f passante per 0. 
Ciascuna delle oc 2 rigate quadriche passanti per f, determina su questa curva una g l 2 . 
Si consideri tra queste rigate, una di quelle (oc 1 ) che hanno per generatrice la corda di 
f' passante per 0. Proiettando allora da 0, si riconosce subito che la g l 2 segnata su f 
dalla rigata, dà luogo sulla C 3 ad una g\ segnata dalle rette uscenti da un suo punto. 
(0 
(~i l 2 5, 8 2 Ò 3 ò 4 ) 
nerata dal fascio (2); chiamando omologhe una curva del fascio (1) [del fascio (2)] ed 
una retta del fascio t { (del fascio t 2 ) quando segano la C 3 negli stessi due punti mobili , 
