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Df <n Rosaria Abbia 
[.Memoria III.] 
21. — Si voglia ora costruire la trasformazione del quinto ordine con un punto fon- 
damentale triplo, tre doppi e tre semplici. 
Suppostala esistente, in essa la rete delle curve isologiche ha un punto base doppio 
nel punto fondamentale triplo , ed uno in un punto fondamentale doppio, e quattro punti 
base semplici nei rimanenti punti fondamentali doppi e in due semplici. 
La curva unita è quindi una conica passante con un ramo per il punto fon- 
damentale triplo, per due doppi ed uno semplice di ciascun piano. 
Chiamiamo x e t i punti fondamentali tripli dei due piani, d l ,d 2 ,d. J i 
punti fondamentali doppi (dei quali ^ , d { , d 2 giacciono sulla conica unita) t l , s ? , s 3 , e t , 
e 2 , e 3 i punti fondamentali semplici (£ 3 ,s. 2 , e^,e t stiano sulla conica). Il fascio di rette di 
centro l viene mutato nella trasformazione in un fascio di coniche passanti con un ramo 
per il punto fondamentale triplo e per i tre doppi. 
Inoltre il fascio di raggi di centro d t viene mutato in un fascio di cubiche passanti 
con due rami pel punto fondamentale triplo e con un ramo per i punti fondamentali doppi 
e per due semplici. Indichiamo questi due fasci con : 
(1) (t?q?5 2 o 3 ) 
( 2 ) 
0, 0 3 Sl £,). 
Ogni retta del fascio t (o del fascio rfj taglia la conica unita in quello stesso punto 
in cui essa è tagliata dalla conica corrispondente del fascio (1), (o dalla cubica corrispon- 
dente del fascio (2) ). 
22. — Cerchiamo adesso di invertire le considerazioni fatte, allo scopo di dimostrare 
la esistenza della trasformazione e di darne la costruzione. Sopra una conica C 2 del piano, 
fissiamo i punti generici ~, 8 t , 5 2 , ^,2, d l e fuori di essa due altri punti $ 2 , s 2 . Conside- 
riamo il fascio di raggi di centro t, ed il fascio di coniche (t S, 8 a 8. t ) ; chiamando omo- 
loghe una conica di questo fascio ed una retta del fascio t quando segano in uno stesso 
punto la conica C 2 , viene chiaramente stabilita tra i due fasci una proietti vita . 
Similmente considerando il fascio di raggi di centro d { ed il fascio di cubiche 
(t 2 8 t 8 3 8 3 £ x s 2 ), e chiamando omologhe una cubica ed una retta che passino per uno 
stesso punto di C 2 , viene anche qui stabilita una corrispondenza proiettiva tra i due fasci. 
Per un punto P,. del piano passano due raggi dei fasci t e d i , ai quali corrispon- 
dono una conica ed una cubica che avranno fuori dei punti fondamentali un punto l\ 
comune: assumeremo il punto l\, come corrispondente di P x . 
E viceversa. 
La corrispondenza così definita è una trasformazione cremoniana del quinto ordine 
e del tipo voluto. Infatti per essa ogni retta del piano viene mutata in una quintiqa con 
un punto triplo in t, tre doppi in 8 1 ,8 2 ,8 3 , e due semplici in ^ , e 2 . La conica C 2 è unita. 
E poiché i due piani vengono riferiti punto 'a punto, al punto comune a due rette 
corrisponde un unico punto, quello comune (fuori dei fondamentali) alle due quintiche cor- 
rispondenti : segue che il , sistema di quintiche deve ancora avere un punto base sem- 
plice s 3 . 
23. — Ci occuperemo adesso della trasformazione del quinto ordine con sei punti 
fondamentali doppi in ciascun piano. Ammessane 1’ esistenza , in essa la rete delle curve 
