Le trasformazioni cremoniane piane di tersa classe , ecc 
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isologiche ha due- punti base doppi in due punti fondamentali del proprio piano, e quattro 
semplici nei rimanenti punti fondamentali. 
La curva unita è perciò una conica passante per quattro punti fondamentali 
di ciascun piano. 
Il fascio di raggi avente il centro in uno dei punti fondamentali doppi di ciascun 
piano viene mutato in un fascio di cubiche avente un punto base doppio in uno dei punti 
fondamentali doppi dell’ altro piano ed un punto base semplice in ciascuno dei rimanenti 
punti fondamentali doppi. 
Indicando con d lt d 2 , d. ò , d A , d 5 , d 6ì 8 15 5 2 , S 3 , S 4 , 6 5 , ò 6 , i due sistemi di punti fonda- 
mentali , possiamo supporre che il fascio di raggi di centro d i venga mutato nel fascio 
di cubiche : 
( 1 ) (V 8 2 S :ì 8 4 8 5 ò 6 ) 
ed il fascio di raggi di centro d> nel fascio di cubiche 
(2) (8, 8 2 2 8 3 8, 8. 8 t .) . 
Supposto che d i , d 2 , 8 t , 8 2 , 8 3 , 84 stiano sulla conica unita C 2 , ogni raggio per d t 
(per di) taglia la C 2 nello stesso punto in cui la taglia la cubica corrispondente del 
fascio (1) [del fascio (2)]. 
La d l d 2 considerata come appartenente all’ uno e all’ altro dei due fasci , viene mu- 
tata nella <5 2 . 
24. — Invertendo le considerazioni fatte, prendiamo sopra una conica C 2 del piano i 
punti d l , d 2 , 8 t , 8 2 , 8 S , 8 4 e fuori i punti 8-, 8 e . Consideriamo il fascio di raggi di centro d\ 
ed il fascio di cubiche (V § 2 § 5 ^ u ) : chiamando omologhe una retta del primo fascio 
ed una cubica del secondo che taglino la C 2 in uno stesso punto , viene stabilita tra i 
due fasci una corrispondenza proiettiva. Lo stesso dicasi per il fascio di raggi di centro d 2 
ed il fascio di cubiche (2). 
Per un punto P x del piano passa un raggio per d i e uno per d-> ; il punto P y co- 
mune alle due cubiche dei fasci (l) e (2) che corrispondono a tali due raggi, possiamo 
assumerlo come corrispondente di P x . 
E viceversa. 
Resta così stabilita fra i due piani una corrispondenza che è appunto la trasforma- 
zione cremoniana del quinto ordine richiesta. Infatti se un punto P x si muove sopra una 
retta r , il punto P y corrispondente genera un luogo del sesto ordine passante con tre 
rami per ^ , o 2 e con due rami per i rimanenti punti fondamentali. Si osservi però che 
al raggio d x d 2 che fa parte di ciascuno dei due fasci di raggi , e che incontra ciascuna 
retta, corrisponde la congiungente <M 2 , la quale viene a staccarsi dal luogo del sesto or- 
dine. Come curva che corrisponde alla retta r resta quindi una quintica passante con due 
rami per ciascun punto fondamentale. 
La conica C l risulta unita. 
25. — Trasformazione del quarto ordine con tre punti fondamentali doppi e tre 
semplici. 
Supposto che esista , in essa la rete delle curve isologiche ha due punti base doppi 
in due punti fondamentali doppi del proprio piano, e tre punti base semplici nel rimanente 
