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D. ssa Rosaria Abbia 
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punto fondamentale doppio ed in due semplici. Sicché la curva unita è una retta pas- 
sante per un punto fondamentale doppio ed uno semplice di ciascun piano. 
Per la costruzione si prenda una retta g del piano, e sette punti d 2 , d 3 , <5,, <5 2 , ^ 3 , s 2 , £ 3 
dei quali <5 3 stia su g, i rimanenti abbiano posizione arbitraria. Chiamiamo il punto in 
cui la g incontra la congiungente d 2 d 3 . 
Riferiamo il fascio di rette di centro d, proiettivamente al fascio di coniche (§, <> 2 <5 3 s 2 ) 
considerando come omologhe quella retta del 1° fascio e quella conica del 2° che passano 
per uno stesso punto di g. 
Analogo riferimento suppongasi stabilito tra il fascio di rette di centro d 3 ed il fascio 
di coniche (?ò 5 2 2 :t s 3 ). 
Allora si può coordinare ad ogni punto P v del piano , 1’ ulteriore intersezione delle 
coniche dei due fasci, che nelle proietti vità stabilite, corrispondono alle rette d 2 P, d 3 P. E 
se un punto P x si muove sopra una retta r il corrispondente P y genera un luogo del 
4° ordine passante per S, 2 , S 3 2 , s 2 , c 3 . Inoltre passerà per ìi che è il corrispondente 
del punto comune ad r ed a d x d 2 . 
La retta d- 3 s x è unita. 
26. — Passiamo ora alla trasformazione del quinto grado con un punto fondamen- 
tale triplo, tre doppi e tre semplici, nella quale la rete delle curve isologiche ha tre punti 
base doppi nel punto fondamentale triplo e in due punti fondamentali doppi del suo piano 
e un punto base semplice nel rimanente punto fondamentale doppio. La curva unita è 
quindi una conica passante per il punto fondamentale triplo , per il punto dop- 
pio (base semplice per la rete di curve isologiche) e per i tre semplici. 
Per questa trasformazione, supposto che esista, il fascio di raggi avente il centro in 
un punto fondamentale doppio di E x viene mutato in E y in un fascio di cubiche con un 
punto base doppio nel punto fondamentale triplo , e cinque semplici nei tre punti fonda- 
mentali doppi e in due semplici. 
Similmente il fascio di raggi avente il centro in un punto fondamentale semplice 
viene mutato in un fascio di quartiche con tre punti base doppi nel punto fondamentale 
triplo dell’ altro piano e in due doppi , e quattro punti base semplici nel rimanente punto 
fondamentale doppio e nei tre semplici. 
Se d 3 e 8 :J sono i punti fondamentali doppi dei due piani, che stanno sulla conica 
unita C' , lasciando ferme le notazioni dei casi precedenti, possiamo pensare che il fascio 
di raggi di centro d A viene mutato nel fascio di cubiche (x 2 o, o 2 3 ;i 3, s 2 ). 
Inoltre chiamando e , il punto fondamentale di E, : che corrisponde alla retta fonda- 
mentale ~<>i, possiamo dire che il fascio di raggi di centro e { viene mutato nel fascio di 
quartiche (x 2 o 2 2 o 3 2 s, e 2 s 3 ). Ogni retta del fascio d :i (o del fascio e,) taglia la conica 
unita C 2 nello stesso punto in cui la taglia la cubica (o la quartica) corrispondente. 
27. — Invertiamo adesso le considerazioni fatte, e dimostriamo l’esistenza della tra- 
sformazione dandone nello stesso tempo la costruzione. 
A tal uopo scegliamo sopra una conica C 2 del piano sette punti x, S 3 , s, , s 2 , e 3 , d 3 , e ìt 
e fuori di essa i punti 5,,<5 2 . 
Consideriamo il fascio di raggi di centro d :i (o il fascio di centro e,), ed il fascio di 
cubiche (t 2 o, o, d :i z l s 2 ) [o il fascio di quartiche (t 2 iq o 2 2 o :j 2 s, s 2 s 3 ) |, chiamando omologhe 
una retta del fascio d { (o del fascio di e L ) ed una cubica del fascio (x 2 ^ o, o ;j s, s 2 ) [o una 
quartica del fascio (x* o ( o 2 2 o ;! 2 3 2 s 3 ) | che tagliano in uno stesso punto mobile la conica 
