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Le trasformazioni cremoniane piane di tersa classe , ecc. 
C 2 , è chiaro che tra le due coppie di fasci viene stabilita una corrispondenza proiettiva. 
Per un punto P x del piano passano due raggi per d 3 ed e,; a cui corrispondono 
una cubica ed una quartica che hanno fuori dei punti fondamentali, ancora un punto co- 
mune P y che assumeremo come corrispondente di P x . 
Se un punto P x si muove sopra una retta , il corrispondente P y descrive un luogo 
del settimo ordine (x 4 8 1 8 V 8 3 3 s, 2 e 3 ). Si osservi però che la congiungente d.. e t incon- 
tra ogni retta in un punto s; i due raggi d 3 s’, e v s coincidono con d 3 e L . Sicché la co- 
nica (x <$ 2 c) 3 s i s.,) del piano E u corrispondente della retta d z e t , si stacca dal luogo del 
settimo ordine. 
Come curva corrispondente di una retta , resta quindi una quintica passante per 
~ , V, V, \ , £ i> S 8» S 3- 
La conica C 2 è unita. 
28. — Trasformazione del quarto ordine con tre punti fondamentali doppi e tre sem- 
plici, nella quale la rete delle curve isologiche ha tre punti base doppi nei tre punti fon- 
damentali doppi del suo piano. La curva unita è perciò una retta passante per i 
tre punti fondamentali semplici dei due piani. 
Ammessa l’esistenza di questa trasformazione, essa muta il fascio di raggi avente il 
centro in un punto fondamentale doppio di E x , in un fascio di coniche avente i quattro 
punti base semplici nei tre punti fondamentali doppi ed in uno semplice del piano E y . Si 
osservi poi che ogni raggio del fascio considerato taglia la retta unita nello stesso punto 
in cui essa è tagliata dalla conica corrispondente. 
29. — Inversamente segniamo sul piano sette punti <5,, o 3 , £,, e 2 , d x , d%. Conside- 
riamo il fascio di raggi di centro d x ed il fascio di coniche (<S, <S 3 £,) : chiamiamo omo- 
loghe una retta del primo fascio ed una conica del secondo che taglino in uno stesso 
punto la congiungente s x e 2 . 
Viene così stabilita tra i due fasci una corrispondenza proiettiva. 
Similmente suppongasi stabilita una corrispondenza proiettiva fra i raggi del fascio 
di centro d- 2 e le coniche del fascio ?S 2 <5 3 £ 3 ) 2 . 
Per un punto P x passano due raggi uscenti da d { e d 2 , ai quali corrispondono due 
coniche che oltre ai punti 5 A , 8 2 , S 3 hanno un quarto punto comune P y , che assumiamo 
come corrispondente di P x . 
La Sj £ 2 risulta unita. 
Se un punto P x si muove sopra una retta, il corrispondente P y genera una quartica, 
luogo delle intersezioni delle coniche che corrispondono ai raggi per d { e d 2 passanti per 
un medesimo punto della retta. Questa quartica passa per 8T, 8 2 2 , 5 :1 ' 2 , £ A , £ 2 . 
Ma si osservi che al raggio d x d. 2 corrispondono due coniche passanti per il punto 
d’ incontro del raggio stesso con la s t £ 2 , punto che indichiamo con £ s . 
Quindi s 3 è un terzo punto fondamentale semplice del piano E y . 
31. — Trasformazione del quinto grado con un punto fondamentale triplo, tre doppi, 
tre semplici, nella quale la rete delle curve isologiche ha un punto base triplo nel punto 
fondamentale triplo del suo piano, e quattro punti base semplici nei tre punti fondamen- 
tali doppi ed in uno semplice del proprio piano. La curva unita è quindi una conica 
passante per i tre punti fondamentali doppi e per due semplici. 
Questa trasformazione, supposto che esista , muta il fascio di raggi avente il centro 
in un punto fondamentale semplice del piano E x in un fascio di quartiche avente tre 
