Le trasformazioni cremoniane piane di terza classe , ecc 
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Sia // il numero dei punti fondamentali di ciascun piano, e siano essi punti indicati 
con 1 , 2, ... li in ogni piano. Sia r L la multiplicità del punto fondamentale /' di E r , ed 
s, quella del punto i di E y , ed 
i\ > r 2 r z > . . . > r h 
> *, > S, > . . . > $/« . 
Ammettiamo che i due sistemi di punti fondamentali siano in posizione generica , 
cioè che in uno stesso punto non coincidano punti fondamentali dello stesso piano o di 
piani diversi. 
Dalla teoria generale delle trasformazioni cremoniane piane , applicata ai due piani 
dati, seguono le seguenti formule : 
V — 
-J > i 
3 (n— I) 
y 
-i Su 
= 3 (n — 1) 
i 
n 
II 
-V 
5D 
u 2 — 1 
2 s| 
= H 2 — 1 
i 
11 
3r,-l = 
2 a /7 v 
3s ft — 1 
= 2 
n 
i 
nr , = 
2 s K «,: fe 
n ■ s K 
V r ri 
LJ } 1 a /u* 
K 
t 
r, rj = 
2 ft iK VjK 
Sh S/i 
— 2 a„i «ni 
fi 
i 
ove a iK indica la multiplicità della curva fondamentale S K di E x (corrispondente al punto 
fondamentale k di E y ) nel punto fondamentale i di E x , ovvero la multiplicità della curva 
fondamentale R< di E y (corrispondente al punto i di Ef) nel punto k di E y . 
2. — Sia M x una curva del piano E x di ordine jx, le cui multiplicità nei punti fon- 
damentali di E x indichiamo con p t p 2 ... p h . A questa curva corrisponda in virtù della 
trasformazione una curva M y nel piano E y dello stesso ordine p. (escludendo le curve 
fondamentali che da essa si sono staccate) e questa abbia nei punti fondamentali di E y 
le multiplicità o { , g 2 ; . . o h . In particolare può M y coincidere con M x , ed inoltre ciascun 
punto di M x restare invariato nella trasformazione. La curva M, corrispondente a se stessa 
punto a punto, la chiameremo curva fìssa. 
Una tale curva conterrà necessariamente dei punti fondamentali, che sono i corrispon- 
denti nella trasformazione, dei suoi punti d’ incontro con curve fondamentali. 
Sia h un punto fondamentale di E y (corrispondente alla curva fondamentale S h di E x ) 
posto sulla curva unita : esso è un punto ordinario di E x e poiché sta sulla curva unita, 
ha per corrispondente se stesso. Ma tutti i punti di E x i cui corrispondenti in E y coinci- 
dono con h stanno su S h , quindi S h passa per h. 
Non basta, li è punto semplice di S h , perchè se fosse multiplo, sarebbe punto fon- 
damentale di E r { S , j non ha punti multipli fuori dei punti fondamentali di E x ) e si avrebbe 
in lì sovrapposizione di punti fondamentali dei due piani. 
Inoltre la curva fondamentale S h non può passare per alcun altro punto fondamen- 
tale di E y posto sulla curva M. Sia infatti /' uno di detti punti : si osservi che i con- 
