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D. sm Rosaria Abbia 
[Memoria 1II.J 
Il risultato definitivo della nostra ricerca può riassumersi nel seguente enunciato : 
1 tipi di trasformazioni di tersa classe non involutorie, sono: 
1) trasformazione del grado 6, con 2 punti fondamentali tripli , 4 doppi e 
3 semplici in ciascun piano , e con cubica unita passante con un ramo per tutti 
i punti fondamentali ; 
2) trasformazione del grado 5, con 1 punto fondamentale triplo , 3 doppi e 
3 semplici in ciascun piano , e conica unita passante con un ramo per il punto 
fondamentale triplo, per due doppi ed uno semplice di ciascun piano ; 
3) trasformazione di grado 5 con 6 punti fondamentali doppi , e conica 
unita passante con un ramo per quattro punti fondamentali di ciascun piano. 
4) trasformazione del grado 4, con 3 punti fondamentali doppi e 3 semplici, 
e retta unita passante per un punto fondamentale doppio ed uno semplice di 
ciascun piano; 
5) trasformazione del grado 5, con 1 punto fondamentale triplo , 3 doppi e 
3 semplici, e conica unita passante con un ramo per il punto fondamentale tri- 
plo, per uno doppio e per i tre semplici di ciascun piano ; 
6) trasformazione del grado 4, con 3 punti fondamentali doppi e 3 sem- 
plici, e retta unita passante per i punti fondamentali semplici dei due pialli ; 
7) trasformazione del grado 5 con un punto fondamentale triplo , 3 doppi 
e 3 semplici e conica unita passante con un ramo per i tre punti fondamentali 
doppi e per due semplici di ciascun piano ; 
8) trasformazioni del De Jonquières: del 3° grado senza curva unita, op- 
pure del 4° grado con retta unita passante per 3 punti fondamentali semplici di 
ciascun piano , oppure del 5° grado con conica unita passante con un ramo per 
il punto fondamentale quadruplo e per quattro semplici di ciascun piano. 
In un prossimo lavoro faremo vedere come la teoria delle trasformazioni di terza 
classe si possa riallacciare a quella della superfìcie del terzo ordine, rappresentando que- 
sta sopra un piano in due maniere distinte , ed esaminando la trasformazione del piano 
in se stesso, che ne risulta. 
CAPITOLO I. 
Generalità. 
§ 1. — Alcuni teoremi sulle trasformazioni di Cremona nel piano, 
contenenti una curva unita. 
1. — Si abbia un piano riferito a se stesso biunivocamente , mediante una trasfor- 
mazione cremoniana di grado n. Le coordinate di un punto di questo piano le indiche- 
remo con x\ .v, „r.„ o con v, y 2 y 3 secondo che vien riguardato il punto come apparte- 
nente al piano dato E x o al trasformato E y . 
Le equazioni della trasformazione siano : 
Xi — 
(y { , y 2 - 
J ; 3 ) 
ji — 
(a ( , .i 2 , 
x z ) 
(/= 1,2, 3) 
le e le '{» essendo funzioni razionali intere di grado n nelle rispettive variabili. 
