Memoria IX. 
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Delle varietà algebriche con infinite V 2 . 
Nota di GIUSEPPE MARLETTA 
In questa Nota , mediante la rappresentazione delle iperquadriche Vf ._ j dell’ S r nei 
punti dell’ S y , ove è v = , si assegnano alcune proprietà delle varietà algebriche 
ad r dimensioni, dotate di oo 1 Vl_ x . 
I risultati ottenuti vengono applicati alle varietà algebriche ad r -(- 1 dimensioni, do- 
tate di oc' 2 Vr-i , e ciò con un procedimento che assai facilmente si potrebbe estendere 
al caso generale delle varietà algebriche ad r -j- / — l dimensioni, dotate di oc' F,l_i . 
§ 1 . 
1. Sia I 1 una varietà algebrica irriducibile ad r dimensioni, immersa nell' S u , d’or- 
dine »)4 e dotata di infinite Vf._i generalmente non specializzate; queste, quindi ( x ) , 
costituiranno un fascio (/e). 
Indicheremo con 12 la varietà , ad r -j- l dimensioni , costituita dagli spazi S,. delle 
varietà k ; con jj. l’ordine di e con 5 il numero delle k esistenti in uno generico degli 
S r generatori di N ( 2 ). 
2. Proiettando genericamente il fascio (k) da un S /l _ r _ 1 in un S,. = Q , si ottiene un 
sistema ili) di oo 1 iperquadriche (generalmente non specializzate) di Q, d’indice n , per il 
quale sistema è elemento 5 -pio ognuno dei jx S,,_! (doppi) tracce in Q dei [i spazi S,. , 
generatori di 12 incidenti 1’ centro di proiezione. Anzi se D è un punto generico 
di uno A di questi |i spazi S r _! , delle n iperquadriche li passanti per D, 2 s (e non più) 
coincidono con lo spazio (doppio) A stesso. 
Si noti , inoltre , che per la genericità della fatta proiezione , il sistema (li) non ha 
alcun elemento (multiplo) proiezione di più varietà k non giacenti in uno stesso S r . Ne 
(fi È noto essere un fascio ogni sistema (necessariamente) co 1 irriducibile di coniche (generalmente irri- 
ducibili) esistente sopra una superficie algebrica d’ordine h> 4 . 
G. CASTELNUOVO e F. ENRIQUES, Sopra alcune questioni fondamentali nella teoria delle superficie 
algebriche [Annali di Matematica, serie III, voi. VI (1901), pp. 165-225], n. 17; e 
M. DE FRANCHIS, Le superficie irrazionali di j° ordine con infinite coniche [Rendiconti della R. Ac- 
cademia dei Lincei, serie V, voi. XV, 2 0 semestre 1906, pp. 284-286] n. 1. 
Ora si noti che le V' z r -\ di Y non sono co 1 con / J> 1 , giacché altrimenti, come facilmente si dimostra, 
un Sh,-r E2 generico dovrebbe secare T in una superfìcie costituita da quadriche , ciò che è assurdo. È poi 
evidente che (h) è un fascio. 
( 2 ) Per h=r + 1 2 coincide con P Su , ambiente, contato u. volte, cioè S è l’inviluppo, di classe co- 
stituito dagli spazi S r delle V 2 ,—\ del fascio (k). 
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