4 
Giuseppe Mariella 
[Memoria \'.J 
8. Il teorema inverso del precedente non è vero ; infatti congiungendo due punti ge- 
nerici della curva a, si ottiene una retta la quale non appartiene a F, nè incontia t, 
mentre se essa appartenesse a due piani singolari, dovrebbe (n° 7) o appartenere a 1 
ovvero incontrare la conica t. 
Si può però dimostrare che 
se una retta, non di F, appartieìie a due piani singolari, essa appartiene a tre 
punti siìigolari, due d’ ordine uno e l'altro d’ ordine due; e viceversa. 
La prima parte fu dimostrata nel numero precedente. Se, viceversa, ad una retta r 
(non di F) appartengono i punti singolari Sj, S/ e , siccome r non è (n° 6) singolare, . 
cosi le rette di F ad essa incidenti, generano una rigata d’ ordine 6 della quale tanno 
parte i fasci (Si), (S/), e il cono quadiico (S 2 ). Rimane una rigata quadrica avente r 
come doppia, e quindi spezzata in due fasci (Si"), (Si"') i cui piani passano per r. 
Osserviamo che allo spazio di questi fasci appartengono {S^) ed (Si'); infatti (Si), 
p. es., passa pei raggi S^Si" ed SiS,'". Notiamo dunque che in questo caso la rigata di 
F esistente in questo spazio, è composta dei quattro fasci (Si), (Si'), (Si"), (Si'"), e le 
sue due rette direttrici doppie sono r e la retta r' = Si "Si"'. 
9. Se^ diciamo associati due punti della curva a (n° 3), ogni qualvolta uno di essi 
appartenga al piano del fascio (di F) dell’altro (^^), il teorema dimostrato nel numero pre- 
cedente si può enunciare cosi : 
Condizione necessaria e sufficiente affinchè siano cospaziali due fasci di F i 
cui centri non sono associati, è che la retta di questi centri incontri la conica 
10. Sia Si un punto singolare d’ ordine uno. Il fascio (Si) e 1’ ipersuperficie Vr. delle 
rette di F incidenti un piano generico r., si secano in una sestica, della quale fa parte la 
retta di (S^) incidente ". Rimane una curva c d’ ordine 5, non passante per Sj (^’* (**) ) e 
avente il punto (n° 4) A = (SJt multiplo secondo 1.2 = 2. 
La curva c e 1’ ipersuperficie V ri delle rette di F incidenti un altro piano generico 
'f, si secano in 5.6 = 30 punti dei quali fan parte ; 
i IO punti comuni ad (Sj) e alla rigata V--' (^^); 
i 5 punti comuni a. c e alla retta di (Sj incidente ri ; 
e il punto A contato -/ volte, perchè esso è doppio per c e doppio per F-'. 
Rimangono quindi 30 — {10 5 4)= II punti che sono singolari (d’ordine 
uno), perchè ciascuno di essi è già comune a tre laggi di F. 
Concludiamo dunque che 
in ogni fascio di F esistono undici punti singolari d' ordine uno, oltre del centro 
del fascio. 
In altri termini : 
Ad ogni piano singolare appartengono dodici punti singolari d' ordine uno 
(*^) E quindi questo apparterrà al piano del fascio di quello, giacché altrimenti per quest' ultimo punto 
pas.serebbe un raggio staccato di T, ciò che (M, n“ 33) è assurdo. 
Infatti .Sj è semplice per (.S']) e semplice per ì'~, e già per esso passa la detta retta di (.S'i) inci- 
dente ~. 
(**) Indichiamo con / la rigata, d’ordine 6-\-4 = io, generata dalle rette di F incidenti " e anche 
(*q Si ottiene una verifica di questo teorema, applicandolo a quattro fasci cospaziali di F (n” 8); si ri- 
troverà che nello spazio di questi esistono 12 +(12 — 2) +(12 — 3) ■■)- (12 — 3) — .jo punti singolari d’ordine 
uno, e ciò d’ accordo col n“ 3. 
