Sul complesso di rette, dell' , di 4^ specie, d' ordine 2 e di classe 4 
o 
11. Viceversa 
ad ogni punto singolare d' ordine uno appartengono dodici piani singolari. 
Infatti se il piano di (S\) passa per , i punti ed sono associati (n° 9); e 
viceversa. Dunque i piani singolari passanti per , distinti dal piano di (SJ, sono tanti 
quanti sono i punti associati di cioè (n° 10) sono undici. Complessivamente, cioè te- 
nendo conto del piano di (SJ, abbiamo 11 1 — 12 piani singolari passanti per S^. 
12. 11 fascio (SJ seca 1’ ipersuperficie focale O in una cui'va d’ ordine Va 6.1 = 3 con- 
tata (M, n° 6) due volte; ne segue che 
/ dodici punti singolari d' ordine 1 e il punto singolare d' ordine 2 appartenenti 
ad un piano singolare, giacciono in una stessa cubica lungo la quale questo piano 
tocca r ipersuperficie focale <I>. 
Analogamente 
i venti punii singolari d' ordine lei tre punti singolari d’ ordine 2 appartenenti 
ad un cono quadrico di F, giacciono in una stessa sesiica avente il vertice di 
questo cono come doppio, la quale è hi proiettala da questo punto medesimo, e 
lungo la quale il detto cono quadrico tocca V ipersuperfìcie foccde <I>. 
13. Sia r una retta generica di (“); se un piano singolare è incontrato da r fuori 
della conica t, siccome esso si appoggia (n° 4) a questa, così sarà cospaziale con onde 
sarà uno dei 20 fasci (n° 2) di F aventi i centri in questa conica. Siccome, poi, per cia- 
scuno dei due punti rx passano (n° 5) 20 fasci di F, così concludiamo che i piani sin- 
golai'i incontrati dalla retta r sono 20 -\- 2.20 = 60. 
Dunque : 
L' ipersuperficie generata dai piani singolari del complesso F è d’ ordine &Ò. 
Essa ha la conica x 20-pla e la curva a 12-pla. 
14. Sia Sg un punto generico di x; esistono (n° 5) 20 punti di a appartenenti al cono 
quadrico (S. 2 ) ; sia uno di questi. Nel fascio (SJ esistono ( 11 ° 10) altri 11 punti di a; 
sia S"j uno di questi. Nel fascio (S"J esistono altri 10 punti di a (distinti da S"j e Sj; 
sia S'^ uno di questi ; infine sia S\ il punto comune (n° 4) a x e al fascio (S'J. Dunque 
ad un punto di x possiamo far corrispondere 20. 11.10. — 2200 punti (come S'fì di x 
medesima. Viceversa è chiaro che ad un punto S\ corrispondono 2200 punti come . 
Supponiamo che S., coincida con S\. Allora siccome i raggi , Sf'\ , S\S‘ 2 , S\S’\ 
appartengono a F, così i piani dei fasci (SJ e (N\) avranno in comune la retta S'\ , 
retta che non appartiene a F, perchè essendo Nj S'\ retta di F, il punto S'\ non appar- 
tiene al cono {Sfì , e quindi non è retta di F. 
Dunque i piani dei fasci (*S\) e {S\) si secano in una retta, la S, S'\ , che non ap- 
partiene a F ; ne segue (n° 8) che la rigata delle rette di F esistente nel loro spazio, 
sarà composta dei tre fasci {Sf {S\), {S'\) f), e di un quarto fascio {S'"f il cui cen- 
tro S''\ appartiene alla retta N, . 
Viceversa siano (n° 8) (NJ, {S\), (S"\) quattro fasci di F cospaziali, e le rette 
Ni N'i , S'\ S’'\ non appartengano a F ; è chiai'o che ripetendo il procedimento dato in 
principio di questo n°, il punto S '2 coinciderà col punto = x. N"i S"\ . 
C®) È facile dimostrare che se VI fosse nella retta .S., Si , il punto S 2 non potrebbe essere una coinci- 
denza per la stabilita corrispondenza. 
(‘b Si noti che S'\ e 5'à .s\ sono rette di F, onde il fascio (.S"i) appartiene al detto spazio. 
