^leiuoria XI 
MICHELE CIPOLLA 
Sui princlpil del Calcolo aritmetico-integrale 
111 un saggio di calcolo aritmetico-integrale ^), pubblicato sei anni or sono, io posi 
a fondamento della teoria delle funzioni numeriche le proprietà di un’ operazione che de- 
nominai ìnoltiplicasione integrale. Mostrai allora come l’introduzione di un calcolo ope- 
rativo abbastanza semplice permetta di riunire e sistemare una folla di proprietà aritmetiche, 
sparse in lavori disparati, e dedotte con metodi più o meno complicati, e di ritrovarne 
numerose altre, non meno interessanti. 
In quel saggio io mi limitai a considerare solamente quelle relazioni che si riferiscono 
alla decomposizione di un numero naturale in due o più fattori, riattaccando i risultati 
particolari di Dedekind e Liouville, e quelli più generali di Buga,tev e Cesàro ad una 
nuova classe di funzioni analitico-aritmetiche di cui mostrai l’ importanza nella teoria delle 
serie di Dirichlet. 
Adesso io ritorno a quel metodo per applicarlo ad un’ altra classe estesissima di re- 
lazioni, che nascono dalla considerazione delle cosiddette funzioni soniniatorie. 
Farò precedere, per maggiore chiarezza e comodità del lettore, un riassunto della teo- 
ria dei prodotti integrali, rimandando al citato saggio per la letteratura sul riguardo e pei 
maggiori dettagli; poi, come conseguenza di relazioni generalissime, otterrò un gran nu- 
mero di risultati notevoli, molti dei quali sparsi in varii lavori di Dirichlet, Bugajev, 
Lipschitz, Cesàro, Hermite, Gegenbauer, Busche, Hacks ed altri autori che saranno via 
via citati. Questi risultati offrono tutti un grande interesse per le applicazioni di varia na- 
tura che se ne fanno o possono farsi nella teoria della divisibilità , delle congruenze de- 
gli alti gradi , in aritmetica assintotica , ecc., delle quali applicazioni spero di occuparmi 
presto in successivi lavori. 
1 . 
La nioltiplieazioiie integrale. 
1 . Prodot I O integrale — Essendo /, g due funzioni numeriche (cioè definite per 
ogni numero intero positivo //), dicesi “) prodotto integrale di / per g, e denotasi con 
h specimen de Calatlo arUhmetico-iiUegi ale, Revista de Mathematica, t. 9, a. 1908. Lo richiamerò nel 
seguito semplicemente col titolo di Specimen. 
') Specimen, n. i. 
ATTI ACC. SERIE V. VOL. Vili — Mem. XI. i 
