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S/l/ pì'iìicipii del Calcolo arilmel/co-iulegrale 
Dalla prop. 2'2 segue che / coinlegrali di una funzione iinpriì/iitiva sono fiin- 
Bioni inipriììiitive. Per conseguenza il calcolo del cointegrale //P'"" di una funzione 
imprimitiva si riconduce a quello relativo ad una potenza a"^ di un numero primo. Ora 
se /■ è una funzione numerica qualunque, si ha, con una notazione del calcolo isobarico : 
m i 
f‘ ^ 2 S f 
/r=i (i> 
m 
Se f= u, allora {a") rappresenterà il numero delle soluzioni, in numeri interi non 
negativi, dell’ equazione 
-f- Xo -}- ... -[- x,i, = CO. 
Poiché questo numero, com’ è noto, è uguale a 
ni- 
(//) = n 
(0 
l/l — i-pco 
co 
(3) 
Ne segue, in virtù della prop. 2'3 : 
•1 — Se f(n) è una fniiBio/ie composta^ si ha: 
f {n) = f{n)iy' in) — f (n) II , 
(t) 
e in particola/'e (m = 2) : 
f (w.) = /(//) V [n) . 
Giusta la definizione, [n] è uguale alla somma di tutti i prodotti della forma 
/(xj /"(Xj) .../(x,„) , corrispondenti alle soluzioni, in numeri interi positivi, dell’ equazione 
•^'1 ••• /n . 
Ora se ni > x {n), quest’equazione non ammette soluzioni con numeri interi tutti di- 
versi dall’ unità, e per conseguenza è nullo il cointegrale di una funzione che si 
annulla per il valore 1 dell’ argomento. Una tale proprietà presenta sempre la funzione 
f — /(!)«, qualunque sia la /, e però, se niC>x(n): 
MI. 
(/■-/(l)«f in) 0. 
.Sviluppando il primo membro, conformemente alla proprietà (I), si deduce 
/”‘(l)«(»)= (//"‘“hlì/O;)- (//‘"’COU («) + •■. + (-ir"'/'!») (4) 
fi Cfr. per es. la mia Analisi algt-brica (ed. Capozzi, Palermo, a. 1914), p. 353. 
