Shi principii del Calcolo aritmelico-inlegrale 
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mentre per le funzioni v e a, aventi derivata composta, si devono applicare le (2) e (3) : 
si ottiene, nell’ ipotesi che n non sia divisibile per il cubo di un numero intero maggiore 
di 1: 
- 1 
V 
X 
k 
_ (_1)"2«)2 
'(„) = (— D’W II (« + 2-»), 
(a, io) 
essendo if:^ il massimo quadrato che divide n. 
Più generalmente, se la funzione f ha per integrale una funzione composta, si 
ha, in virtù delia prop. 3'3 : 
(;/) = r •) |i(«) I /(n)! = n 
^ (a,w)( \ ^ 
— 2 
U ) — 1 
I 
S • 
E se è composta la derivata di /, si ha : 
f \>» = s'"jii(»)3"'/(«)j = + („-i) (/(«ì-®)!- 
7. Fattoriali integrali — Se / è una funzione numerica sempre positiva e g una 
funzione numerica qualunque, si denota con P{/, g, //) il prodotto esteso a 
tutti i divisori d di e con P {/, g) la funzione il cui valore, per ogni n, è dato da 
detto prodotto : 
p if, g, n) = , r (/, ,g) = P (/, g, n)\n. 
Pifì Sì fP) dicesi il fattoriale integrale di f « g secondo n. 
Le proprietà dei fattoriali integrali si possono dedurre dalle proprietà dei prodotti in- 
tegrali, in virtù della relazione : 
log PLfìS) = log/xg . 
Per es., sq f q g sono imprimitive, si ha per la prop. 3’2 : 
Pi.fìS> = 
li P (f, g) («"') 
(a,o)) 
( 1 ) 
Facciamo alcune applicazioni di questa forinola. Supponiamo che per ogni n si ab- 
bia f(n) = n, g(?i)=\. Allora si ottiene il noto teorema circa il prodotto di tutti i di- 
visori di un numero : 
o)(co-t-i) 
n n ni 
d {a,^) 
v(«) 
2 
n 
h specimen, n. 14. 
