Sì!/ priìicipii del Calcolo arilnielico-inte^irale 
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8. Le funzioni analitiche numerico-integrali — Le operazioni nuinei'ico-integrali si 
estendono coll’introduzione del concetto di funzione analitica numerico-integrale di una 
funzione numerica. 
Tale estensione è fondata sulla prop. seguente ^): 
■ 1 — Se R è il raggio di coìivergensa della serie 
••• “h , (1) 
e se qualunque sia il divisore d di n si ha 
I /(<#) I < -ff , ( 2 > 
allora la serie 
■yt y2 Y'" 
a^o.[;n) -|- a,t («) -f a.f (;/) + ... -f- a,nf [n) + (3) 
è assolutamente convergente. 
Se ^ è la funzione rappresentata dalla serie (1) nel suo cei’chio di convergenza, la 
somma della serie (3) si denota con ^{f^{n)), e la funzione (/''") dicesi la funzione 
numerico-integrale di f. 
’2 — Se le condisioni espresse nell' enunciato della prop. precedente sono sod- 
disfatte, e se inoltre g è una funsione numerica tale che per ogni divisore d di n 
si ha sempre 
! /(rf) -f- (rf) I < R , 
allora vale la forinola, analoga a quella di Taylor: 
( 4 ) 
<w/+«-r =>H/'‘)+ 
g 
I o 
^ m ! 
La determinazione della somma della serie (3) è un’applicazione notevole di questa 
formula. Vi si muti infatti f{n) in /'(!)«(«), e g (n) in f {n) — f{[)a{n). .Sì ottiene, os- 
servando che la condizione (4) è verificata in conseguenza della (2) ; 
'H/ («)) = “(«)''M/0)) 
1 ! 
A(D) + 
r(/(0)+...(5) 
Il secondo membro di quest’ eguaglianza ha un numero finito di termini, perchè 
m 
if - «/•(!))" (n) = 0 
non appena m supera i (;/). 
*) specimen, n. i6. 
