Sii/ priìicipii del Calcolo arilinellco-inlegrale 
l.") 
3. — Se [ è una fuìizioue coiti posici si ha: 
e se n non è una potensa di un numero primo : 
log { 1 I) r= 0 . 
Ulteriori estensioni possono farsi della nozione di funzione analitica numerico-inte- 
grale, considerando le serie di potenze, ad esponenti interi negativi o fratti, di una o più 
variabili. Sorvoliamo su questo argomento, come pure alle sue applicazioni alla teoria 
delle serie di Dirichlet 0- 
9. Equazioni numerico-integrali — La formola (6) del n. precedente ci dà una 
soluzione dell’ equazione numerico-integrale binomia, di grado ;//, nella funzione numerica 
incognita g ; 
nell’ipotesi che sia /'(U^l— 0. Basta infatti porre, nella detta formola, 5 = — . In tal caso 
m 
l’equazione (l) ha evidentemente in, e non più, soluzioni (distinte), e queste corrispon- 
dono alle m radici del numero /(l). Anzi, se g^ è una soluzione della (1), e si 
denota con ^ una radice primitiva dell’ unità, tutte le soluzioni della (1) sono 
o' 3p" 3^0" 3^*^ ^ o" 
Se /(1) = 0, allora la ( I ) non è possibile se non intercedano speciali relazioni fra i 
valori della funzione /. 
È notevole la proprietà: 
•1 — Se fé una funsione imprimiti'va (non nulla), quella soluzione g^ della (1), 
per la quale si ha gQ(1) = 1, è aneli' essa imprimitiva. 
Infatti, se denotiamo con G la funzione imprimitiva che per le potenze dei numeri 
primi assume lo stesso valore di g ^ , poiché si ha 
m 
{a^) = f{a^') , 
risulta (2'2), qualunque sia ir. 
m 
G"" in) = fin) , 
q specimen, ? ii. 
q Quest’ argomento non è trattato nello Specimen. 
