Sui prfncipii del Calcolo aritwetico-integrale 
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essendo, nell’ ultimo membro, la prima somma estesa a tutti i numeri primi p\, p-i, ••• , 
che non superano n ; la seconda somma a tutte le combinazioni a due a due dei mede- 
simi numeri primi, ecc. 
Le due operazioni A e V sono inverse l’una dell’altra, cioè: 
AV/-= VAf = f. 
Infatti (10.3) 
A V/* = A(uo/‘) == jxo (oof) = (|xxu) of = aof = f , 
VA/’ = uo(iJ.o/') = ('JXiJ.)o/' = «0/“ = f . 
Le derivate totali dei vari ordini si definiscono per ricorrenza con la forinola 
A'”+i/ = AA”y, 
e la definizione iniziale 
Ay=: A/. 
Evidentemente 
m 
A-/ = 1.^ 0/. (2) 
Supponendo che nella (14) del n. 10 sia ^ = si ottiene la seguente relazione fra 
le derivate totali dei vari ordini, di una funzione numerica /: 
/(>*) = ( ”' ) A/(«) - ( ) Ay(«) + ( ”' ) A^fin) - ... , 
essendo qui in un numero naturale qualunque, purché maggiore di ciascuno dei numeri 
T(l), X(2), ..., x{n). 
Dalla prop. 10*3 si trae facilmente : 
Mpg) = fìAg = dfog , (3) 
e più generalmente : 
A'” [pg) — foA"^g = d'yog . (4) 
In particolare, se ^ = o : 
A'”S/ = S3'”/-. (5) 
e questa formola, nell'ipotesi m= 1, confrontata con quella che si ottiene dalla (13) dei 
n. 10 quando dà una doppia forinola di trasformazione per le funzioni sommatorie: 
SA i)+a/(2)-|-...+a/(«)=s/'(»)-ss/’[.^] +ss/- 
prps 
-...=/■( 1)3/ 4 +A2)32 4+..., (6) 
